Analysis Beispiele

$\int (3 \sec (6 x) \tan (6 x) - 5 x \csc^{2} (2 x^{2})) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int 3 \sec (6 x) \tan (6 x) - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 \sec (6 x) \tan (6 x) d x + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \sec (6 x) \tan (6 x) d x + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Schritt 4

Sei $u_{2} = \sec (6 x)$ . Dann ist $d u_{2} = 6 \sec (6 x) \tan (6 x) d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u_{2} = \sec (6 x) \tan (6 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{2} = \sec (6 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\sec (6 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (6 x)]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 6 x$ .

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Schritt 4.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $6 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 4.1.2.2

Die Ableitung von $\sec (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 4.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $6 x$ .

$\sec (6 x) \tan (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.1.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \cdot 1)$

Schritt 4.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.3.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\sec (6 x) \tan (6 x) \cdot 6$

Schritt 4.1.3.3.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\sec (6 x) \tan (6 x)$ .

$6 \sec (6 x) \tan (6 x)$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$3 \int \frac{1}{6} d u_{2} + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Schritt 6

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 5$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) - 5 \int x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Schritt 7

Sei $u_{3} = 2 x^{2}$ . Dann ist $d u_{3} = 4 x d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{3} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u_{3} = 2 x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 7.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x)$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) - 5 \int \csc^{2} (u_{3}) \frac{1}{4} d u_{3}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $u_{2}$ .

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 \int \csc^{2} (u_{3}) \frac{1}{4} d u_{3}$

Schritt 8.2

Kombiniere $\csc^{2} (u_{3})$ und $\frac{1}{4}$ .

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 \int \frac{\csc^{2} (u_{3})}{4} d u_{3}$

Schritt 9

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 (\frac{1}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3})$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 5$ .

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) + \frac{- 5}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 10.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - \frac{5}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 11

Da die Ableitung von $- \cot (u_{3})$ gleich $\csc^{2} (u_{3})$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (u_{3})$ gleich $- \cot (u_{3})$ .

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - \frac{5}{4} (- \cot (u_{3}) + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

$\frac{u_{2}}{2} - \frac{5}{4} (- \cot (u_{3})) + C$

Schritt 12.2

Vereinfache.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{u_{2}}{2} + 1 (\frac{5}{4}) \cot (u_{3}) + C$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $1$ .

$\frac{u_{2}}{2} + \frac{5}{4} \cot (u_{3}) + C$

Schritt 12.2.3

Kombiniere $\frac{5}{4}$ und $\cot (u_{3})$ .

$\frac{u_{2}}{2} + \frac{5 \cot (u_{3})}{4} + C$

Schritt 13

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 13.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sec (6 x)$ .

$\frac{\sec (6 x)}{2} + \frac{5 \cot (u_{3})}{4} + C$

Schritt 13.2

Ersetze alle $u_{3}$ durch $2 x^{2}$ .

$\frac{\sec (6 x)}{2} + \frac{5 \cot (2 x^{2})}{4} + C$

Schritt 14

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} \sec (6 x) + \frac{5}{4} \cot (2 x^{2}) + C$