Analysis Beispiele

$y' = \frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$

Schritt 2

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 2.1

Spalte $\frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$ auf und vereinfache.

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Schritt 2.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x y} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Schritt 2.1.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Schritt 2.1.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{2 x y}$

Schritt 2.1.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{x (2 y)}$

Schritt 2.1.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{x (2 y)}$

Schritt 2.1.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x}{2 y}$

Schritt 2.2

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{y}{2 x}$ aus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{y}{2 x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} + \frac{x}{2 y}$

Schritt 2.2.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $\frac{1}{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{2 y}$

Schritt 2.3

Schreibe die Differentialgleichung als $f (\frac{y}{x})$ um.

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Schritt 2.3.1

Klammere $\frac{x}{y}$ von $\frac{x}{2 y}$ aus.

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $\frac{x}{y}$ aus $\frac{x}{2 y}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.1.2

Stelle $\frac{x}{y}$ und $\frac{1}{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y}$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{x}{y}$ als ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Schritt 3

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V + \frac{1}{2} V^{- 1}$

Schritt 4

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 5

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 6

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V + \frac{1}{2} V^{- 1}$

Schritt 7

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 7.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 7.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 7.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2} V^{- 1}$

Schritt 7.1.1.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V}$

Schritt 7.1.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V}$

Schritt 7.1.1.2

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$

Schritt 7.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 7.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 7.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 7.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 7.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1.1.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V}{x}$

Schritt 7.1.1.3.3.2

Um $- V$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Schritt 7.1.1.3.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1.1.3.3.3.1

Kombiniere $- V$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Schritt 7.1.1.3.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Schritt 7.1.1.3.3.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1.3.3.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1.3.3.3.3.1.1

Faktorisiere $V$ aus $V - V \cdot 2$ heraus.

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Schritt 7.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 2}{2}}{x}$

Schritt 7.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Faktorisiere $V$ aus $V^{1}$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Schritt 7.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Faktorisiere $V$ aus $- V \cdot 2$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Schritt 7.1.1.3.3.3.3.1.1.4

Faktorisiere $V$ aus $V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Schritt 7.1.1.3.3.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 2)}{2}}{x}$

Schritt 7.1.1.3.3.3.3.1.3

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot - 1}{2}}{x}$

Schritt 7.1.1.3.3.3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{- 1 \cdot V}{2}}{x}$

Schritt 7.1.1.3.3.3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}}{x}$

Schritt 7.1.1.3.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1.3.3.4.1

Um $- \frac{V}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Schritt 7.1.1.3.3.4.2

Mutltipliziere $\frac{V}{2}$ mit $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V \cdot V}{2 V}}{x}$

Schritt 7.1.1.3.3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 - V \cdot V}{2 V}}{x}$

Schritt 7.1.1.3.3.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1.3.3.4.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V \cdot V}{2 V}}{x}$

Schritt 7.1.1.3.3.4.4.2

Schreibe $V \cdot V$ als $V^{2}$ um.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V^{2}}{2 V}}{x}$

Schritt 7.1.1.3.3.4.4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}}{x}$

Schritt 7.1.1.3.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 7.1.1.3.3.6

Mutltipliziere $\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Schritt 7.1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 7.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} (\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 7.1.4

Vereinfache.

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Schritt 7.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Schritt 7.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 V$ .

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Schritt 7.1.4.2.1

Faktorisiere $2 V$ aus $2 V x$ heraus.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V (x)}$

Schritt 7.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Schritt 7.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

Schritt 7.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(1 + V) (1 - V)$ .

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Schritt 7.1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

Schritt 7.1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 7.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 7.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $V$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.2.2.2

Sei $u = (1 + V) (1 - V)$ . Dann ist $d u = - 2 V d V$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = V d V$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.2.2.2.1

Es sei $u = (1 + V) (1 - V)$ . Ermittle $\frac{d u}{d V}$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Differenziere $(1 + V) (1 - V)$ .

$\frac{d}{d V} [(1 + V) (1 - V)]$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [f (V) g (V)]$ gleich $f (V) \frac{d}{d V} [g (V)] + g (V) \frac{d}{d V} [f (V)]$ ist mit $f (V) = 1 + V$ und $g (V) = 1 - V$ .

$(1 + V) \frac{d}{d V} [1 - V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Schritt 7.2.2.2.1.3

Differenziere.

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Schritt 7.2.2.2.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - V$ nach $V$ $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]$ .

$(1 + V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Schritt 7.2.2.2.1.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $V$ gleich $0$ .

$(1 + V) (0 + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Schritt 7.2.2.2.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d V} [- V]$ .

$(1 + V) \frac{d}{d V} [- V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Schritt 7.2.2.2.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $- V$ nach $V$ gleich $- \frac{d}{d V} [V]$ .

$(1 + V) (- \frac{d}{d V} [V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Schritt 7.2.2.2.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + V) (- 1 \cdot 1) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Schritt 7.2.2.2.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.2.2.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(1 + V) \cdot - 1 + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Schritt 7.2.2.2.1.3.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $1 + V$ .

$- 1 \cdot (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Schritt 7.2.2.2.1.3.6.3

Schreibe $- 1 (1 + V)$ als $- (1 + V)$ um.

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Schritt 7.2.2.2.1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + V$ nach $V$ $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V]$ .

$- (1 + V) + (1 - V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V])$

Schritt 7.2.2.2.1.3.8

Da $1$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $V$ gleich $0$ .

$- (1 + V) + (1 - V) (0 + \frac{d}{d V} [V])$

Schritt 7.2.2.2.1.3.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d V} [V]$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [V]$

Schritt 7.2.2.2.1.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \cdot 1$

Schritt 7.2.2.2.1.3.11

Mutltipliziere $1 - V$ mit $1$ .

$- (1 + V) + 1 - V$

Schritt 7.2.2.2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 7.2.2.2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 \cdot 1 - V + 1 - V$

Schritt 7.2.2.2.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 7.2.2.2.1.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 - V + 1 - V$

Schritt 7.2.2.2.1.4.2.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$- V + 0 - V$

Schritt 7.2.2.2.1.4.2.3

Addiere $- V$ und $0$ .

$- V - V$

Schritt 7.2.2.2.1.4.2.4

Subtrahiere $V$ von $- V$ .

$- 2 V$

Schritt 7.2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.2.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.2.2.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$2 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.2.2.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.2.2.7

Vereinfache.

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Schritt 7.2.2.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.2.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 7.2.2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.2.2.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.2.2.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.2.2.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.2.2.7.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.2.2.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.2.2.9

Vereinfache.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.2.2.10

Ersetze alle $u$ durch $(1 + V) (1 - V)$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 7.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 7.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 7.3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- \ln (| (1 + | x |) (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.2.1

Multipliziere $(1 + | x |) (1 - | x |)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \ln (| 1 (1 - | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 7.3.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 7.3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 7.3.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.2.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- \ln (| 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 7.3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- | x |$ mit $1$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 7.3.2.2.1.3

Mutltipliziere $| x |$ mit $1$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 7.3.2.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - | x | | x | |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 7.3.2.2.1.5

Multipliziere $| x |$ mit $| x |$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.2.2.1.5.1

Bewege $| x |$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - (| x | | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 7.3.2.2.1.5.2

Mutltipliziere $| x |$ mit $| x |$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 7.3.2.2.2

Addiere $- | x |$ und $| x |$ .

$- \ln (| 1 + 0 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 7.3.2.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$- \ln (| 1 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 7.3.3

Addiere $\ln (| x |)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$

Schritt 7.3.4

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - V^{2} |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 7.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (| 1 - V^{2} |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 7.3.4.2.2

Dividiere $\ln (| 1 - V^{2} |)$ durch $1$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 7.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.4.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 7.3.4.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 7.3.4.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Schritt 7.3.4.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot \ln (| x |)$ als $- \ln (| x |)$ um.

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - \ln (| x |)$

Schritt 7.3.5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 1 - V^{2} |) + \ln (| x |) = - C$

Schritt 7.3.6

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - V^{2} | | x |) = - C$

Schritt 7.3.7

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| (1 - V^{2}) x |) = - C$

Schritt 7.3.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 1 x - V^{2} x |) = - C$

Schritt 7.3.9

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (| x - V^{2} x |) = - C$

Schritt 7.3.10

Um nach $V$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| x - V^{2} x |)} = e^{- C}$

Schritt 7.3.11

Schreibe $\ln (| x - V^{2} x |) = - C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | x - V^{2} x |$

Schritt 7.3.12

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 7.3.12.1

Schreibe die Gleichung als $| x - V^{2} x | = e^{- C}$ um.

$| x - V^{2} x | = e^{- C}$

Schritt 7.3.12.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x - V^{2} x = \pm e^{- C}$

Schritt 7.3.12.3

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$

Schritt 7.3.12.4

Teile jeden Ausdruck in $- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ durch $- x$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.12.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ durch $- x$ .

$\frac{- V^{2} x}{- x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Schritt 7.3.12.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.12.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Schritt 7.3.12.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.3.12.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Schritt 7.3.12.4.2.2.2

Dividiere $V^{2}$ durch $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Schritt 7.3.12.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.12.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.12.4.3.1.1

Vereinfache $\frac{\pm e^{- C}}{- x}$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- x}{- x}$

Schritt 7.3.12.4.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Schritt 7.3.12.4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.3.12.4.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Schritt 7.3.12.4.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + 1$

Schritt 7.3.12.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$

Schritt 7.3.12.6

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$ .

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Schritt 7.3.12.6.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}}$

Schritt 7.3.12.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$

Schritt 7.3.12.6.3

Schreibe $\sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$ als $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ um.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$

Schritt 7.3.12.6.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Schritt 7.3.12.6.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.12.6.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Schritt 7.3.12.6.5.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Schritt 7.3.12.6.5.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Schritt 7.3.12.6.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.3.12.6.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Schritt 7.3.12.6.5.6

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 7.3.12.6.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.3.12.6.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.3.12.6.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.12.6.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.12.6.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.12.6.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Schritt 7.3.12.6.5.6.5

Vereinfache.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x}$

Schritt 7.3.12.6.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$

Schritt 7.3.12.6.7

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$ um.

$V = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{- C} + x)}}{x}$

Schritt 7.4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

Schritt 8

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

Schritt 9

Löse $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$ nach $y$ auf.

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Schritt 9.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

Schritt 9.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$