Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 3$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.5.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 + 0$

Schritt 1.5.2

Addiere $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$ und $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4 + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.5.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4 + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $12 x^{2} - 24 x + 4$ und $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 4.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 4.1.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 4.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 4.1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 4.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.5.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 + 0$

Schritt 4.1.5.2

Addiere $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$ und $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$ heraus.

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 (x^{3}) - 12 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Schritt 5.2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 4 x + 4 = 0$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 4 (x) + 4 = 0$

Schritt 5.2.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 4 (x) + 4 (1) = 0$

Schritt 5.2.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2})$ heraus.

$4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 (x) + 4 (1) = 0$

Schritt 5.2.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 (x)$ heraus.

$4 (x^{3} - 3 x^{2} + x) + 4 (1) = 0$

Schritt 5.2.1.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3} - 3 x^{2} + x) + 4 (1)$ heraus.

$4 (x^{3} - 3 x^{2} + x + 1) = 0$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $x^{3} - 3 x^{2} + x + 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 5.2.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Schritt 5.2.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1$

Schritt 5.2.2.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 5.2.2.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 1 + 1$

Schritt 5.2.2.1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 1 + 1$

Schritt 5.2.2.1.3.3

Potenziere $1$ mit $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 1 + 1$

Schritt 5.2.2.1.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$1 - 3 + 1 + 1$

Schritt 5.2.2.1.3.5

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- 2 + 1 + 1$

Schritt 5.2.2.1.3.6

Addiere $- 2$ und $1$ .

$- 1 + 1$

Schritt 5.2.2.1.3.7

Addiere $- 1$ und $1$ .

$0$

Schritt 5.2.2.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + x + 1}{x - 1}$

Schritt 5.2.2.1.5

Dividiere $x^{3} - 3 x^{2} + x + 1$ durch $x - 1$ .

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Schritt 5.2.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

Schritt 5.2.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$

Schritt 5.2.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 5.2.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 5.2.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Schritt 5.2.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Schritt 5.2.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Schritt 5.2.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Schritt 5.2.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{2} + 2 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 5.2.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$x$

Schritt 5.2.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$x$	+	$1$

Schritt 5.2.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$x$	+	$1$

Schritt 5.2.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							-	$x$	+	$1$

Schritt 5.2.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x + 1$

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$

Schritt 5.2.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$
										$0$

Schritt 5.2.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 2 x - 1$

Schritt 5.2.2.1.6

Schreibe $x^{3} - 3 x^{2} + x + 1$ als eine Menge von Faktoren.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 x - 1)) = 0$

Schritt 5.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x - 1) (x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Schritt 5.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 5.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5.5

Setze $x^{2} - 2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $x^{2} - 2 x - 1$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Schritt 5.5.2

Löse $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.2.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 5.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.5.2.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 5.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.2.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 5.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.5.2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.5.2.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 5.5.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + \sqrt{2}$

Schritt 5.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 5.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.5.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.5.2.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 5.5.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - \sqrt{2}$

Schritt 5.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (x - 1) (x^{2} - 2 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1, 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 1, 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 4$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$12 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 4$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12 - 24 \cdot 1 + 4$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$12 - 24 + 4$

Schritt 9.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $24$ von $12$ .

$- 12 + 4$

Schritt 9.2.2

Addiere $- 12$ und $4$ .

$- 8$

Schritt 10

$x = 1$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} + 2 {(1)}^{2} + 4 (1) - 3$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 4 {(1)}^{3} + 2 {(1)}^{2} + 4 (1) - 3$

Schritt 11.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 4 \cdot 1 + 2 {(1)}^{2} + 4 (1) - 3$

Schritt 11.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f (1) = 1 - 4 + 2 {(1)}^{2} + 4 (1) - 3$

Schritt 11.2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 4 + 2 \cdot 1 + 4 (1) - 3$

Schritt 11.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (1) = 1 - 4 + 2 + 4 (1) - 3$

Schritt 11.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f (1) = 1 - 4 + 2 + 4 - 3$

Schritt 11.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 11.2.2.1

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f (1) = - 3 + 2 + 4 - 3$

Schritt 11.2.2.2

Addiere $- 3$ und $2$ .

$f (1) = - 1 + 4 - 3$

Schritt 11.2.2.3

Addiere $- 1$ und $4$ .

$f (1) = 3 - 3$

Schritt 11.2.2.4

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (1) = 0$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1 + \sqrt{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 {(1 + \sqrt{2})}^{2} - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Schreibe ${(1 + \sqrt{2})}^{2}$ als $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ um.

$12 ((1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Schritt 13.1.2

Multipliziere $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 13.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (1 (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Schritt 13.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Schritt 13.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Schritt 13.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 13.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$12 (1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Schritt 13.1.3.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$12 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Schritt 13.1.3.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$12 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Schritt 13.1.3.1.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$12 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Schritt 13.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$12 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{4}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Schritt 13.1.3.1.6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$12 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Schritt 13.1.3.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$12 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Schritt 13.1.3.2

Addiere $1$ und $2$ .

$12 (3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Schritt 13.1.3.3

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$12 (3 + 2 \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Schritt 13.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$12 \cdot 3 + 12 (2 \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Schritt 13.1.5

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$36 + 12 (2 \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Schritt 13.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$36 + 24 \sqrt{2} - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Schritt 13.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$36 + 24 \sqrt{2} - 24 \cdot 1 - 24 \sqrt{2} + 4$

Schritt 13.1.8

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$36 + 24 \sqrt{2} - 24 - 24 \sqrt{2} + 4$

Schritt 13.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 13.2.1

Subtrahiere $24$ von $36$ .

$12 + 24 \sqrt{2} - 24 \sqrt{2} + 4$

Schritt 13.2.2

Addiere $12$ und $4$ .

$16 + 24 \sqrt{2} - 24 \sqrt{2}$

Schritt 13.2.3

Subtrahiere $24 \sqrt{2}$ von $24 \sqrt{2}$ .

$16 + 0$

Schritt 13.2.4

Addiere $16$ und $0$ .

$16$

Schritt 14

$x = 1 + \sqrt{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1 + \sqrt{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1 + \sqrt{2}$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1 + \sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = {(1 + \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1^{4} + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{2}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{2}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \cdot (1 \sqrt{2}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.5

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 {\sqrt{2}}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 15.2.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.2.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2 + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2 + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.7

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.8

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 {\sqrt{2}}^{3} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.9

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 \sqrt{2^{3}} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.10

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 \sqrt{8} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.11

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 15.2.1.2.11.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 \sqrt{4 (2)} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.11.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (2 \sqrt{2}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.13

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.14

Schreibe ${\sqrt{2}}^{4}$ als $2^{2}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.2.14.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.14.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.14.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.14.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.2.14.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.14.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.2.14.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.14.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.14.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.14.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{2} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.2.15

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 4 - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.3

Addiere $1$ und $12$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 13 + 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} + 4 - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.4

Addiere $13$ und $4$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.5

Addiere $4 \sqrt{2}$ und $8 \sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.6

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1^{3} + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{2}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{2}) + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.7

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.7.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{2}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{2}) + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.7.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \cdot (1 \sqrt{2}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{2}) + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.7.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{2}) + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.7.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.7.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.7.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.7.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.7.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.7.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.7.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.7.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2 + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.7.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2 + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.7.6

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 6 + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.7.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 6 + \sqrt{2^{3}}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.7.8

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 6 + \sqrt{8}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.7.9

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.7.9.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 6 + \sqrt{4 (2)}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.7.9.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 6 + \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.7.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 6 + 2 \sqrt{2}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.8

Addiere $1$ und $6$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (7 + 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.9

Addiere $3 \sqrt{2}$ und $2 \sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (7 + 5 \sqrt{2}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.10

Wende das Distributivgesetz an.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 \cdot 7 - 4 (5 \sqrt{2}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.11

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 4 (5 \sqrt{2}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.12

Mutltipliziere $5$ mit $- 4$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.13

Schreibe ${(1 + \sqrt{2})}^{2}$ als $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ um.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 ((1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.14

Multipliziere $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.14.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.15

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.15.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.15.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.15.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.15.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.15.1.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.15.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{4}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.15.1.6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.15.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.15.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.15.3

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (3 + 2 \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.16

Wende das Distributivgesetz an.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 \cdot 3 + 2 (2 \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.17

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 6 + 2 (2 \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.18

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 6 + 4 \sqrt{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Schritt 15.2.1.19

Wende das Distributivgesetz an.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 6 + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 1 + 4 \sqrt{2} - 3$

Schritt 15.2.1.20

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 6 + 4 \sqrt{2} + 4 + 4 \sqrt{2} - 3$

Schritt 15.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.1

Subtrahiere $28$ von $17$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = - 11 + 12 \sqrt{2} - 20 \sqrt{2} + 6 + 4 \sqrt{2} + 4 + 4 \sqrt{2} - 3$

Schritt 15.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.2.1

Addiere $- 11$ und $6$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = - 5 + 12 \sqrt{2} - 20 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 + 4 \sqrt{2} - 3$

Schritt 15.2.2.2.2

Addiere $- 5$ und $4$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = - 1 + 12 \sqrt{2} - 20 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 3$

Schritt 15.2.2.2.3

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = - 4 + 12 \sqrt{2} - 20 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}$

Schritt 15.2.2.3

Subtrahiere $20 \sqrt{2}$ von $12 \sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = - 4 - 8 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}$

Schritt 15.2.2.4

Addiere $- 8 \sqrt{2}$ und $4 \sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = - 4 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}$

Schritt 15.2.2.5

Addiere $- 4 \sqrt{2}$ und $4 \sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = - 4 + 0$

Schritt 15.2.2.6

Addiere $- 4$ und $0$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = - 4$

Schritt 15.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$y = - 4$

Schritt 16

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1 - \sqrt{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 {(1 - \sqrt{2})}^{2} - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 17.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.1.1

Schreibe ${(1 - \sqrt{2})}^{2}$ als $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ um.

$12 ((1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.2

Multipliziere $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (1 (1 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$12 (1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.3.1.2

Mutltipliziere $- \sqrt{2}$ mit $1$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.3.1.4

Multipliziere $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.3.1.4.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{1}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.3.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.3.2

Addiere $1$ und $2$ .

$12 (3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.3.3

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $- \sqrt{2}$ .

$12 (3 - 2 \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$12 \cdot 3 + 12 (- 2 \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.5

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$36 + 12 (- 2 \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $12$ .

$36 - 24 \sqrt{2} - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$36 - 24 \sqrt{2} - 24 \cdot 1 - 24 (- \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.8

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$36 - 24 \sqrt{2} - 24 - 24 (- \sqrt{2}) + 4$

Schritt 17.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 24$ .

$36 - 24 \sqrt{2} - 24 + 24 \sqrt{2} + 4$

Schritt 17.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 17.2.1

Subtrahiere $24$ von $36$ .

$12 - 24 \sqrt{2} + 24 \sqrt{2} + 4$

Schritt 17.2.2

Addiere $12$ und $4$ .

$16 - 24 \sqrt{2} + 24 \sqrt{2}$

Schritt 17.2.3

Addiere $- 24 \sqrt{2}$ und $24 \sqrt{2}$ .

$16 + 0$

Schritt 17.2.4

Addiere $16$ und $0$ .

$16$

Schritt 18

$x = 1 - \sqrt{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1 - \sqrt{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 19

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1 - \sqrt{2}$ .

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Schritt 19.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1 - \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = {(1 - \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 19.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1^{4} + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{2})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{2})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{2})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{2})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 + 4 \cdot (1 (- \sqrt{2})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{2})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 + 4 (- \sqrt{2}) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{2})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{2})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.6

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 {(- \sqrt{2})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.7

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 (1 {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.9

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 {\sqrt{2}}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.10

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1.2.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1.2.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.10.5

Berechne den Exponenten.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.11

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.12

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.13

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.14

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- {\sqrt{2}}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.15

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- \sqrt{2^{3}}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.16

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- \sqrt{8}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.17

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1.2.17.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- \sqrt{4 (2)}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.17.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.18

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- (2 \sqrt{2})) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.19

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- 2 \sqrt{2}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.20

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.21

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.22

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.23

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{4}$ mit $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.24

Schreibe ${\sqrt{2}}^{4}$ als $2^{2}$ um.

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Schritt 19.2.1.2.24.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.24.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.24.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.24.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1.2.24.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.24.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1.2.24.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.24.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.24.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.24.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{2} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.2.25

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 4 - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.3

Addiere $1$ und $12$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 13 - 4 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2} + 4 - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.4

Addiere $13$ und $4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 4 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.5

Subtrahiere $8 \sqrt{2}$ von $- 4 \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.6

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1^{3} + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{2})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.7

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1.7.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{2})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.7.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \cdot (1 (- \sqrt{2})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.7.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 (- \sqrt{2}) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.7.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 {(- \sqrt{2})}^{2} + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.7.6

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.7.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 (1 {\sqrt{2}}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.7.8

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.7.9

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1.7.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.7.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.7.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.7.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 19.2.1.7.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.7.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2 + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.7.9.5

Berechne den Exponenten.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2 + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.7.10

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.7.11

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.7.12

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.7.13

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - \sqrt{2^{3}}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.7.14

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - \sqrt{8}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.7.15

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 19.2.1.7.15.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - \sqrt{4 (2)}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.7.15.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.7.16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - (2 \sqrt{2})) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.7.17

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - 2 \sqrt{2}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.8

Addiere $1$ und $6$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (7 - 3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.9

Subtrahiere $2 \sqrt{2}$ von $- 3 \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (7 - 5 \sqrt{2}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.10

Wende das Distributivgesetz an.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 \cdot 7 - 4 (- 5 \sqrt{2}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.11

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 - 4 (- 5 \sqrt{2}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.12

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.13

Schreibe ${(1 - \sqrt{2})}^{2}$ als $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ um.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 ((1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.14

Multipliziere $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 19.2.1.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 (1 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.14.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.15

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 19.2.1.15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.2.1.15.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.15.1.2

Mutltipliziere $- \sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.15.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.15.1.4

Multipliziere $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 19.2.1.15.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.15.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.15.1.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.15.1.4.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.15.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.15.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.15.1.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 19.2.1.15.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.15.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.15.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.15.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 19.2.1.15.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.15.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.15.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.15.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.15.3

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $- \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (3 - 2 \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.16

Wende das Distributivgesetz an.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.17

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 6 + 2 (- 2 \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.18

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 6 - 4 \sqrt{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.19

Wende das Distributivgesetz an.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 6 - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 1 + 4 (- \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.20

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 6 - 4 \sqrt{2} + 4 + 4 (- \sqrt{2}) - 3$

Schritt 19.2.1.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 6 - 4 \sqrt{2} + 4 - 4 \sqrt{2} - 3$

Schritt 19.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 19.2.2.1

Subtrahiere $28$ von $17$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 11 - 12 \sqrt{2} + 20 \sqrt{2} + 6 - 4 \sqrt{2} + 4 - 4 \sqrt{2} - 3$

Schritt 19.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.2.2.1

Addiere $- 11$ und $6$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 5 - 12 \sqrt{2} + 20 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 - 4 \sqrt{2} - 3$

Schritt 19.2.2.2.2

Addiere $- 5$ und $4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 1 - 12 \sqrt{2} + 20 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 3$

Schritt 19.2.2.2.3

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4 - 12 \sqrt{2} + 20 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

Schritt 19.2.2.3

Addiere $- 12 \sqrt{2}$ und $20 \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4 + 8 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

Schritt 19.2.2.4

Subtrahiere $4 \sqrt{2}$ von $8 \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4 + 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

Schritt 19.2.2.5

Subtrahiere $4 \sqrt{2}$ von $4 \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4 + 0$

Schritt 19.2.2.6

Addiere $- 4$ und $0$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4$

Schritt 19.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$y = - 4$

Schritt 20

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 3$ .

$(1, 0)$ ist ein lokales Maximum

$(1 + \sqrt{2}, - 4)$ ist ein lokales Minimum

$(1 - \sqrt{2}, - 4)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 21