Analysis Beispiele

$| 2 x + 1 |$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = 2 x + 1$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$\frac{2 x + 1}{| 2 x + 1 |} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 x + 1}{| 2 x + 1 |} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x + 1}{| 2 x + 1 |} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 x + 1}{| 2 x + 1 |} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 x + 1}{| 2 x + 1 |} (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 x + 1}{| 2 x + 1 |} (2 + 0)$

Schritt 2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2 x + 1}{| 2 x + 1 |} \cdot 2$

Schritt 2.6.2

Kombiniere $\frac{2 x + 1}{| 2 x + 1 |}$ und $2$ .

$\frac{(2 x + 1) \cdot 2}{| 2 x + 1 |}$

Schritt 2.6.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 x + 1$ .

$\frac{2 \cdot (2 x + 1)}{| 2 x + 1 |}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (2 x) + 2 \cdot 1}{| 2 x + 1 |}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 x + 2 \cdot 1}{| 2 x + 1 |}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{4 x + 2}{| 2 x + 1 |}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2$ aus $4 x + 2$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{2 (2 x) + 2}{| 2 x + 1 |}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (2 x) + 2 (1)}{| 2 x + 1 |}$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{2 (2 x + 1)}{| 2 x + 1 |}$