Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - 16}{x^{2}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} {(x^{2} - 4)}^{2} - 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} {(x^{2} - 4)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x^{2} - 4)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x^{2} - 4)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 4)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.6

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{{(0^{2} - 1 \cdot 4)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{{(0 - 1 \cdot 4)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{{(0 - 4)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$\frac{{(- 4)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - 16}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(x^{2} - 4)}^{2} - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Schritt 1.3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} - 4) (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.3.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} - 4) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (x^{2} - 4) x + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (x^{2} - 4) x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0} \frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 4) x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 4 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.5.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.5.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 4 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.5.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 4 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.5.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 4 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.5.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 16 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.5.3.5

Addiere $4 x^{3} - 16 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 16 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 16 x}{2 x}$

Schritt 2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 16 x}{x}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 4 x^{3} - 16 x}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 4 x^{3} - lim_{x \to 0} 16 x}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 16 x}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 16 x}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.4

Ziehe den Term $16$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 16 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 0^{3} - 16 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 0^{3} - 16 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.6.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 0 - 16 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.6.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 16 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.6.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.6.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 16 x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 16 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 16 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 16 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 3.3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \cdot 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 16 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 16 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

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Schritt 3.3.4.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16 x$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{12 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{12 x^{2} - 16 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{12 x^{2} - 16}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{12 x^{2} - 16}{1}$

Schritt 3.4

Dividiere $12 x^{2} - 16$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 12 x^{2} - 16$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 12 x^{2} - lim_{x \to 0} 16)$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $12$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} (12 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 16)$

Schritt 4.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} (12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16)$

Schritt 4.4

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{2} (12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16)$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} (12 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16)$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} (12 \cdot 0 - 1 \cdot 16)$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 16)$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{1}{2} (0 - 16)$

Schritt 6.2

Subtrahiere $16$ von $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 16$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 16$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot (2 (- 8))$

Schritt 6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 8)$

Schritt 6.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- 8$