Analysis Beispiele

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{\ln (2 e^{t} - 1)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{t \to 0} \sin (t)}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

Schritt 1.2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} 2 e^{t} - 1)}$

Schritt 1.3.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} 2 e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}$

Schritt 1.3.1.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{0}{\ln (2 lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}$

Schritt 1.3.1.4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{0}{\ln (2 e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1)}$

Schritt 1.3.1.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{\ln (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{0}{\ln (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 1.3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 - 1)}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Schritt 1.3.3.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{\ln (2 e^{t} - 1)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [\ln (2 e^{t} - 1)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [\ln (2 e^{t} - 1)]}$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\sin (t)$ nach $t$ ist $\cos (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d t} [\ln (2 e^{t} - 1)]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = 2 e^{t} - 1$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 e^{t} - 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]}$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]}$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 e^{t} - 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]}$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 e^{t} - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])}$

Schritt 3.5

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{t}$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1])}$

Schritt 3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + 0)}$

Schritt 3.8

Addiere $2 e^{t}$ und $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t})}$

Schritt 3.9

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 e^{t} - 1}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{2}{2 e^{t} - 1} e^{t}}$

Schritt 3.10

Kombiniere $\frac{2}{2 e^{t} - 1}$ und $e^{t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{2 e^{t}}{2 e^{t} - 1}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{t \to 0} \cos (t) \frac{2 e^{t} - 1}{2 e^{t}}$

Schritt 5

Kombiniere $\cos (t)$ und $\frac{2 e^{t} - 1}{2 e^{t}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t) (2 e^{t} - 1)}{2 e^{t}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{t \to 0} \frac{\cos (t) (2 e^{t} - 1)}{e^{t}}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \cos (t) (2 e^{t} - 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \cos (t) \cdot lim_{t \to 0} 2 e^{t} - 1}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot lim_{t \to 0} 2 e^{t} - 1}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (lim_{t \to 0} 2 e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Schritt 11

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Schritt 12

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Schritt 14

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

Schritt 15

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $t$ .

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Schritt 15.1

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

Schritt 15.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

Schritt 15.3

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{e^{0}}$

Schritt 16

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 16.1

Kombinieren.

$\frac{1 (\cos (0) \cdot (2 e^{0} - 1 \cdot 1))}{2 e^{0}}$

Schritt 16.2

Mutltipliziere $\cos (0)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{2 e^{0}}$

Schritt 16.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 16.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.4.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 16.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 16.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 - 1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 16.4.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{\cos (0) \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 16.4.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 16.4.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 16.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$