Analysis Beispiele

$x y' - 2 y = 2$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung um.

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = 2$

Schritt 2

Separiere die Variablen.

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Schritt 2.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 2.1.1

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d y}{d x} = 2 + 2 y$

Schritt 2.1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = 2 + 2 y$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = 2 + 2 y$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{2 y}{x}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{2 y}{x}$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{2 y}{x}$

Schritt 2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + 2 y}{x}$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 + 2 y$ heraus.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1 + 2 y}{x}$

Schritt 2.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1 + 2 y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot (1 + y)}{x}$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1 + y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 + y)}{x}$

Schritt 2.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} \cdot \frac{2 (1 + y)}{x}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y$ .

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $1 + y$ aus $2 (1 + y)$ heraus.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} \cdot \frac{(1 + y) \cdot 2}{x}$

Schritt 2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} \cdot \frac{(1 + y) \cdot 2}{x}$

Schritt 2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x}$

Schritt 2.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{2}{x} d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 3.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Sei $u = 1 + y$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.2.1.1

Es sei $u = 1 + y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Differenziere $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 3.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.2.1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 3.2.1.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 3.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 3.3.3

Vereinfache.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| 1 + y |) = 2 \ln (| x |) + C$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 1 + y |) - 2 \ln (| x |) = C$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\ln (| 1 + y |) - 2 \ln (| x |)$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| 1 + y |) - \ln ({| x |}^{2}) = C$

Schritt 4.2.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| 1 + y |) - \ln (x^{2}) = C$

Schritt 4.2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y |}{x^{2}}) = C$

Schritt 4.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y |}{x^{2}})} = e^{C}$

Schritt 4.4

Schreibe $\ln (\frac{| 1 + y |}{x^{2}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| 1 + y |}{x^{2}}$

Schritt 4.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| 1 + y |}{x^{2}} = e^{C}$ um.

$\frac{| 1 + y |}{x^{2}} = e^{C}$

Schritt 4.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2}$ .

$\frac{| 1 + y |}{x^{2}} x^{2} = e^{C} x^{2}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache.

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Schritt 4.5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 4.5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| 1 + y |}{x^{2}} x^{2} = e^{C} x^{2}$

Schritt 4.5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| 1 + y | = e^{C} x^{2}$

Schritt 4.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.3.2.1

Stelle die Faktoren in $e^{C} x^{2}$ um.

$| 1 + y | = x^{2} e^{C}$

Schritt 4.5.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.5.4.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 + y = \pm x^{2} e^{C}$

Schritt 4.5.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \pm x^{2} e^{C} - 1$

Schritt 5

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm x^{2} C - 1$

Schritt 5.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C x^{2} - 1$