Analysis Beispiele

\int \frac{1}{θ^{2}} \cos (\frac{1}{θ}) d θ

$\int \frac{1}{θ^{2}} \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

Schritt 1

Kombiniere

\frac{1}{θ^{2}}

$\frac{1}{θ^{2}}$ und

\cos (\frac{1}{θ})

$\cos (\frac{1}{θ})$ .

\int \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ

$\int \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$

Schritt 2

Sei

u = \frac{1}{θ}

$u = \frac{1}{θ}$ . Dann ist

d u = - \frac{1}{θ^{2}} d θ

$d u = - \frac{1}{θ^{2}} d θ$ , folglich

- d u = \frac{1}{θ^{2}} d θ

$- d u = \frac{1}{θ^{2}} d θ$ . Forme um unter Verwendung von

u

$u$ und

d

$d$

u

$u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Es sei

u = \frac{1}{θ}

$u = \frac{1}{θ}$ . Ermittle

\frac{d u}{d θ}

$\frac{d u}{d θ}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere

\frac{1}{θ}

$\frac{1}{θ}$ .

\frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]

$\frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Schritt 2.1.2

Schreibe

\frac{1}{θ}

$\frac{1}{θ}$ als

θ^{- 1}

$θ^{- 1}$ um.

\frac{d}{d θ} [θ^{- 1}]

$\frac{d}{d θ} [θ^{- 1}]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d θ} [θ^{n}]

$\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich

n θ^{n - 1}

$n θ^{n - 1}$ ist mit

n = - 1

$n = - 1$ .

- θ^{- 2}

$- θ^{- 2}$

Schritt 2.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

- \frac{1}{θ^{2}}

$- \frac{1}{θ^{2}}$

- \frac{1}{θ^{2}}

$- \frac{1}{θ^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von

u

$u$ und

d u

$d u$ neu.

\int - \cos (u) d u

$\int - \cos (u) d u$

\int - \cos (u) d u

$\int - \cos (u) d u$

Schritt 3

- 1

$- 1$ konstant bezüglich

u

$u$ ist, ziehe

- 1

$- 1$ aus dem Integral.

- \int \cos (u) d u

$- \int \cos (u) d u$

Schritt 4

Das Integral von

\cos (u)

$\cos (u)$ nach

u

$u$ ist

\sin (u)

$\sin (u)$ .

- (\sin (u) + C)

$- (\sin (u) + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

- \sin (u) + C

$- \sin (u) + C$

Schritt 6

Ersetze alle

u

$u$ durch

\frac{1}{θ}

$\frac{1}{θ}$ .

- \sin (\frac{1}{θ}) + C

$- \sin (\frac{1}{θ}) + C$