Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{θ^{2}} \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{1}{θ^{2}}$ und $\cos (\frac{1}{θ})$ .

$\int \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$

Schritt 2

Sei $u = \frac{1}{θ}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{θ^{2}} d θ$ , folglich $- d u = \frac{1}{θ^{2}} d θ$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \frac{1}{θ}$ . Ermittle $\frac{d u}{d θ}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\frac{1}{θ}$ .

$\frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\frac{1}{θ}$ als $θ^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d θ} [θ^{- 1}]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- θ^{- 2}$

Schritt 2.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{θ^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - \cos (u) d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \cos (u) d u$

Schritt 4

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$- (\sin (u) + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$- \sin (u) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{θ}$ .

$- \sin (\frac{1}{θ}) + C$