Analysis Beispiele

$x^{5} e^{- 3 \ln (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = e^{- 3 \ln (x)}$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{- 3 \ln (x)}] + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 3 \ln (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 3 \ln (x)$ .

$x^{5} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{5} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 3 \ln (x)$ .

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} (- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)])) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} (- 3 \frac{1}{x})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 5.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} \frac{- 3}{x}) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 5.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} (- \frac{3}{x})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $e^{- 3 \ln (x)}$ und $\frac{3}{x}$ .

$x^{5} (- \frac{e^{- 3 \ln (x)} \cdot 3}{x}) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 5.2.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{- 3 \ln (x)}$ .

$x^{5} (- \frac{3 \cdot e^{- 3 \ln (x)}}{x}) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 5.2.4

Kombiniere $x^{5}$ und $\frac{3 e^{- 3 \ln (x)}}{x}$ .

$- \frac{x^{5} (3 e^{- 3 \ln (x)})}{x} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{5}$ und $x$ .

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Schritt 5.2.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} (3 e^{- 3 \ln (x)})$ heraus.

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 5.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x^{1}} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 5.2.5.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 5.2.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 5.2.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)})}{1} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 5.2.5.2.5

Dividiere $x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)})$ durch $1$ .

$- (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 (x^{4} (e^{- 3 \ln (x)})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)} + e^{- 3 \ln (x)} (5 x^{4})$

Schritt 6

Addiere $- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$ und $e^{- 3 \ln (x)} (5 x^{4})$ .

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Schritt 6.1

Bewege $e^{- 3 \ln (x)}$ .

$- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)} + 5 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$

Schritt 6.2

Addiere $- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$ und $5 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$ .

$2 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$