Analysis Beispiele

$3 e^{\frac{x}{3}}$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{\frac{x}{3}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{x}{3}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{3}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{3}$ .

$3 (e^{\frac{x}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{\frac{x}{3}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\frac{3}{3} e^{\frac{x}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $e^{\frac{x}{3}}$ .

$\frac{3 e^{\frac{x}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 e^{\frac{x}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.3.2

Dividiere $e^{\frac{x}{3}}$ durch $1$ .

$e^{\frac{x}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{\frac{x}{3}} \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $e^{\frac{x}{3}}$ mit $1$ .

$e^{\frac{x}{3}}$