Analysis Beispiele

$\int_{0}^{6} (x^{2} + x + 1) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{0}^{6} x^{2} + x + 1 d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{6} x^{2} d x + \int_{0}^{6} x d x + \int_{0}^{6} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \int_{0}^{6} x d x + \int_{0}^{6} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6} + \int_{0}^{6} d x$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6} + x]_{0}^{6}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6}$ und $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6} + x]_{0}^{6}$

Schritt 6.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$ und $x]_{0}^{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x]_{0}^{6}$

Schritt 6.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Berechne $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x$ bei $6$ und $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Schritt 6.2.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $6$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Schritt 6.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $216$ .

$\frac{216}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Schritt 6.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $216$ und $3$ .

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Schritt 6.2.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $216$ heraus.

$\frac{3 \cdot 72}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Schritt 6.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Schritt 6.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Schritt 6.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{72}{1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Schritt 6.2.2.3.2.4

Dividiere $72$ durch $1$ .

$72 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Schritt 6.2.2.4

Potenziere $6$ mit $2$ .

$72 + \frac{1}{2} \cdot 36 + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Schritt 6.2.2.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $36$ .

$72 + \frac{36}{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Schritt 6.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $2$ .

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Schritt 6.2.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Schritt 6.2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Schritt 6.2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Schritt 6.2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$72 + \frac{18}{1} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Schritt 6.2.2.6.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$72 + 18 + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Schritt 6.2.2.7

Addiere $72$ und $18$ .

$90 + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Schritt 6.2.2.8

Addiere $90$ und $6$ .

$96 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Schritt 6.2.2.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$96 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Schritt 6.2.2.10

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $0$ .

$96 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Schritt 6.2.2.11

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$96 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + 0)$

Schritt 6.2.2.12

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$96 - (0 + 0 + 0)$

Schritt 6.2.2.13

Addiere $0$ und $0$ .

$96 - (0 + 0)$

Schritt 6.2.2.14

Addiere $0$ und $0$ .

$96 - 0$

Schritt 6.2.2.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$96 + 0$

Schritt 6.2.2.16

Addiere $96$ und $0$ .

$96$

Schritt 7