Analysis Beispiele

$2 = 5 x y + 5 y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (2) = \frac{d}{d x} (5 x y + 5 y)$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x y + 5 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x y] + \frac{d}{d x} [5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x y] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x y]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x y$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$5 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 y$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 (x y' + y) + 5 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 (x y' + y) + 5 y'$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x y' + 5 y + 5 y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$0 = 5 x y' + 5 y + 5 y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $5 x y' + 5 y + 5 y' = 0$ um.

$5 x y' + 5 y + 5 y' = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $5 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x y' + 5 y' = - 5 y$

Schritt 5.3

Faktorisiere $5 y'$ aus $5 x y' + 5 y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $5 y'$ aus $5 x y'$ heraus.

$5 y' x + 5 y' = - 5 y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $5 y'$ aus $5 y'$ heraus.

$5 y' x + 5 y' \cdot 1 = - 5 y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $5 y'$ aus $5 y' x + 5 y' \cdot 1$ heraus.

$5 y' (x + 1) = - 5 y$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $5 y' (x + 1) = - 5 y$ durch $5 (x + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y' (x + 1) = - 5 y$ durch $5 (x + 1)$ .

$\frac{5 y' (x + 1)}{5 (x + 1)} = \frac{- 5 y}{5 (x + 1)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y' (x + 1)}{5 (x + 1)} = \frac{- 5 y}{5 (x + 1)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 5 y}{5 (x + 1)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 5 y}{5 (x + 1)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 5 y}{5 (x + 1)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $5$ .

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Schritt 5.4.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 y$ heraus.

$y' = \frac{5 (- y)}{5 (x + 1)}$

Schritt 5.4.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{5 (- y)}{5 (x + 1)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y}{x + 1}$

Schritt 5.4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{x + 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x + 1}$