Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{\sqrt{8 - 2 x - x^{2}}} d x$

Schritt 1

Schreibe $8$ um als $9$ plus $- 1$

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 1 - 2 x - x^{2}}} d x$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} + 2 x + x^{2})}} d x$

Schritt 2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Schritt 2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}} d x$

Schritt 2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 1$ und $b = x$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(1 + x)}^{2}}} d x$

Schritt 3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - {(1 + x)}^{2}}} d x$

Schritt 4

Sei $u = 1 + x$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 1 + x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 4.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ nach $u$ ist $\arcsin (\frac{u}{3})$

$\arcsin (\frac{u}{3}) + C$

Schritt 6

Schreibe $\arcsin (\frac{u}{3}) + C$ als $\arcsin (\frac{1}{3} u) + C$ um.

$\arcsin (\frac{1}{3} u) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $1 + x$ .

$\arcsin (\frac{1}{3} (1 + x)) + C$