Analysis Beispiele

$4 x y - x^{2} - 2 = 2 y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (4 x y - x^{2} - 2) = \frac{d}{d x} (2 y^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x y - x^{2} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x y$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (x y' + y) - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 (x y' + y) - 2 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 (x y' + y) - 2 x + 0$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x y') + 4 y - 2 x + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $4 x y' + 4 y - 2 x$ und $0$ .

$4 x y' + 4 y - 2 x$

Schritt 2.5.3

Stelle die Terme um.

$4 x y' - 2 x + 4 y$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 (y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 y y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 x y' - 2 x + 4 y = 4 y y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $4 y y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x y' - 2 x + 4 y - 4 y y' = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x y' + 4 y - 4 y y' = 2 x$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x y' - 4 y y' = 2 x - 4 y$

Schritt 5.3

Faktorisiere $4 y'$ aus $4 x y' - 4 y y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $4 y'$ aus $4 x y'$ heraus.

$4 y' x - 4 y y' = 2 x - 4 y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $4 y'$ aus $- 4 y y'$ heraus.

$4 y' x + 4 y' (- y) = 2 x - 4 y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $4 y'$ aus $4 y' x + 4 y' (- y)$ heraus.

$4 y' (x - y) = 2 x - 4 y$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $4 y' (x - y) = 2 x - 4 y$ durch $4 (x - y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y' (x - y) = 2 x - 4 y$ durch $4 (x - y)$ .

$\frac{4 y' (x - y)}{4 (x - y)} = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y' (x - y)}{4 (x - y)} = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - y$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 5.4.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (x)}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 (x - y)$ heraus.

$y' = \frac{2 (x)}{2 (2 (x - y))} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 x}{2 (2 (x - y))} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Schritt 5.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 5.4.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y$ heraus.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} + \frac{4 (- y)}{4 (x - y)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} + \frac{4 (- y)}{4 (x - y)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} + \frac{- y}{x - y}$

Schritt 5.4.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} - \frac{y}{x - y}$

Schritt 5.4.3.2

Um $- \frac{y}{x - y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} - \frac{y}{x - y} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.4.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 (x - y)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x - y}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} - \frac{y \cdot 2}{(x - y) \cdot 2}$

Schritt 5.4.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(x - y) \cdot 2$ um.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} - \frac{y \cdot 2}{2 (x - y)}$

Schritt 5.4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{x - y \cdot 2}{2 (x - y)}$

Schritt 5.4.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y' = \frac{x - 2 y}{2 (x - y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 2 y}{2 (x - y)}$