Analysis Beispiele

$\int (\sqrt[3]{x} + \cos (2 x + 5)) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \sqrt[3]{x} + \cos (2 x + 5) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \sqrt[3]{x} d x + \int \cos (2 x + 5) d x$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int x^{\frac{1}{3}} d x + \int \cos (2 x + 5) d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int \cos (2 x + 5) d x$

Schritt 5

Sei $u = 2 x + 5$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 2 x + 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $2 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 6

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Schritt 8

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u) + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 5$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{2} \sin (2 x + 5) + C$