Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} {(x + e^{2 x})}^{\frac{1}{x}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe ${(x + e^{2 x})}^{\frac{1}{x}}$ als $e^{\ln ({(x + e^{2 x})}^{\frac{1}{x}})}$ um.

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(x + e^{2 x})}^{\frac{1}{x}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(x + e^{2 x})}^{\frac{1}{x}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{x}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (x + e^{2 x})}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (x + e^{2 x})}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\ln (x + e^{2 x})$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + e^{2 x})}{x}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (x + e^{2 x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + e^{2 x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} e^{2 x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + e^{lim_{x \to 0} 2 x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + e^{2 lim_{x \to 0} x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{\ln (0 + e^{2 lim_{x \to 0} x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{\ln (0 + e^{2 \cdot 0})}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.6.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$e^{\frac{\ln (0 + e^{0})}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.6.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$e^{\frac{\ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.6.2

Addiere $0$ und $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.6.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{0}{0}}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + e^{2 x})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + e^{2 x})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + e^{2 x})]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x + e^{2 x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x + e^{2 x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x + e^{2 x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [x + e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + e^{2 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + e^{2 x} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + e^{2 x} \cdot 2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + e^{2 x} \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + 2 \cdot e^{2 x})}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.10.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + 2 e^{2 x})$ um.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2 e^{2 x}) \frac{1}{x + e^{2 x}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.10.2

Mutltipliziere $1 + 2 e^{2 x}$ mit $\frac{1}{x + e^{2 x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 + 2 e^{2 x}}{x + e^{2 x}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 + 2 e^{2 x}}{x + e^{2 x}}}{1}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 e^{2 x}}{x + e^{2 x}} \cdot 1}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{1 + 2 e^{2 x}}{x + e^{2 x}}$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 e^{2 x}}{x + e^{2 x}}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} 1 + 2 e^{2 x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 x}}}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 e^{2 x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 x}}}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{\frac{1 + lim_{x \to 0} 2 e^{2 x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 x}}}$

Schritt 4.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1 + 2 lim_{x \to 0} e^{2 x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 x}}}$

Schritt 4.5

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{\frac{1 + 2 e^{lim_{x \to 0} 2 x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 x}}}$

Schritt 4.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 x}}}$

Schritt 4.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} e^{2 x}}}$

Schritt 4.8

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + e^{lim_{x \to 0} 2 x}}}$

Schritt 4.9

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 lim_{x \to 0} x}}}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 lim_{x \to 0} x}}}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 \cdot 0}}{0 + e^{2 lim_{x \to 0} x}}}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 \cdot 0}}{0 + e^{2 \cdot 0}}}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$e^{\frac{1 + 2 e^{0}}{0 + e^{2 \cdot 0}}}$

Schritt 6.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$e^{\frac{1 + 2 \cdot 1}{0 + e^{2 \cdot 0}}}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$e^{\frac{1 + 2}{0 + e^{2 \cdot 0}}}$

Schritt 6.1.4

Addiere $1$ und $2$ .

$e^{\frac{3}{0 + e^{2 \cdot 0}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$e^{\frac{3}{0 + e^{0}}}$

Schritt 6.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$e^{\frac{3}{0 + 1}}$

Schritt 6.2.3

Addiere $0$ und $1$ .

$e^{\frac{3}{1}}$

Schritt 6.3

Dividiere $3$ durch $1$ .

$e^{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e^{3}$

Dezimalform:

$20.08553692 \dots$