Analysis Beispiele

$(12 x^{2} - 4 x) d x$

Schritt 1

Schreibe $(12 x^{2} - 4 x) d x$ als Funktion.

$f (x) = (12 x^{2} - 4 x) d x$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int (12 x^{2} - 4 x) d x d x$

Schritt 4

Da $d$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $d$ aus dem Integral.

$d \int (12 x^{2} - 4 x) x d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$d \int 12 x^{2} x - 4 x \cdot x d x$

Schritt 5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$d \int 12 (x^{2} x^{1}) - 4 x \cdot x d x$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$d \int 12 x^{2 + 1} - 4 x \cdot x d x$

Schritt 5.4

Addiere $2$ und $1$ .

$d \int 12 x^{3} - 4 x \cdot x d x$

Schritt 5.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$d \int 12 x^{3} - 4 (x^{1} x) d x$

Schritt 5.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$d \int 12 x^{3} - 4 (x^{1} x^{1}) d x$

Schritt 5.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$d \int 12 x^{3} - 4 x^{1 + 1} d x$

Schritt 5.8

Addiere $1$ und $1$ .

$d \int 12 x^{3} - 4 x^{2} d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$d (\int 12 x^{3} d x + \int - 4 x^{2} d x)$

Schritt 7

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$d (12 \int x^{3} d x + \int - 4 x^{2} d x)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$d (12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 4 x^{2} d x)$

Schritt 9

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$d (12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 \int x^{2} d x)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$d (12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

Schritt 11

Vereinfache.

$d (3 x^{4} - \frac{4 x^{3}}{3}) + C$

Schritt 12

Stelle die Terme um.

$d (3 x^{4} - \frac{4}{3} x^{3}) + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = (12 x^{2} - 4 x) d x$ .

$F (x) =$ $d (3 x^{4} - \frac{4}{3} x^{3}) + C$