Analysis Beispiele

$\ln (1 + x)$

Schritt 1

Schreibe $\ln (1 + x)$ als Funktion.

$f (x) = \ln (1 + x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \ln (1 + x) d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (1 + x)$ und $d v = 1$ .

$\ln (1 + x) x - \int x \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 5

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x + 1}$ .

$\ln (1 + x) x - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 6

Dividiere $x$ durch $x + 1$ .

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Schritt 6.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Schritt 6.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Schritt 6.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Schritt 6.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\ln (1 + x) x - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (1 + x) x - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (1 + x) x - (x + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (1 + x) x - (x + C - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 10

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 10.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 10.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 10.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (1 + x) x - (x + C - \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 11

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (1 + x) x - (x + C - (\ln (| u |) + C))$

Schritt 12

Vereinfache.

$\ln (1 + x) x - x + \ln (| u |) + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$\ln (1 + x) x - x + \ln (| x + 1 |) + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \ln (1 + x)$ .

$F (x) =$ $\ln (1 + x) x - x + \ln (| x + 1 |) + C$