Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\infty} 2 x e^{x^{2}} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} 2 x e^{x^{2}} d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{0}^{t} x e^{x^{2}} d x$

Schritt 3

Sei $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Schritt 3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{x^{2}} (2 x)$ um.

$2 e^{x^{2}} x$

Schritt 3.1.4.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{x^{2}} x$ um.

$2 x e^{x^{2}}$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = e^{x^{2}}$ ein.

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Schritt 3.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = e^{x^{2}}$ ein.

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

Schritt 3.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

Schritt 3.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{1}^{e^{t^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u_{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{u_{2}}{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

Schritt 5.2

Berechne $\frac{u_{2}}{2}$ bei $e^{t^{2}}$ und $1$ .

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 6

Da die Funktion $\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$ gegen $\infty$ geht, geht die positive Konstante $2$ mal der Funktion ebenfalls gegen $\infty$ .

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Schritt 6.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $2$ entfernt.

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}} - 1}{2}$

Schritt 6.2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Schritt 6.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Schritt 6.3

Da der Exponent $t^{2}$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{t^{2}}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Schritt 6.4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.4.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Schritt 6.4.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{2}$

Schritt 6.4.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.4.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\infty - 1}{2}$

Schritt 6.4.3.1.2

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$\frac{\infty}{2}$

Schritt 6.4.3.2

Unendlich geteilt durch etwas, das endlich oder nicht-Null ist, ist Unendlich.

$\infty$