Analysis Beispiele

$\frac{{(x - 3)}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = {(x - 3)}^{3}$ und $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}] - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}] - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}] - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x - 3$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 3$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 3$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} (1 + 0)) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} \cdot 1) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - {(x - 3)}^{3} (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - 2 {(x - 3)}^{3} x}{x^{4}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x {(x - 3)}^{2}$ aus $x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - 2 {(x - 3)}^{3} x$ heraus.

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Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere $x {(x - 3)}^{2}$ aus $x^{2} (3 {(x - 3)}^{2})$ heraus.

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3)) - 2 {(x - 3)}^{3} x}{x^{4}}$

Schritt 5.1.1.2

Faktorisiere $x {(x - 3)}^{2}$ aus $- 2 {(x - 3)}^{3} x$ heraus.

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x - 3)}^{2} (- 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Schritt 5.1.1.3

Faktorisiere $x {(x - 3)}^{2}$ aus $x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x - 3)}^{2} (- 2 (x - 3))$ heraus.

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3) - 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Schritt 5.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (3 x - 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (3 x - 2 x - 2 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (3 x - 2 x + 6)}{x^{4}}$

Schritt 5.1.5

Subtrahiere $2 x$ von $3 x$ .

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x + 6)}{x^{4}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x {(x - 3)}^{2} (x + 6)$ heraus.

$\frac{x ({(x - 3)}^{2} (x + 6))}{x^{4}}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x ({(x - 3)}^{2} (x + 6))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x ({(x - 3)}^{2} (x + 6))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x - 3)}^{2} (x + 6)}{x^{3}}$