Analysis Beispiele

$\frac{e^{x}}{e^{x} + 2}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{e^{x}}{e^{x} + 2}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 2} d x$

Schritt 4

Sei $u = e^{x} + 2$ . Dann ist $d u = e^{x} d x$ , folglich $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = e^{x} + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $e^{x} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 2]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{x} + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$e^{x}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $e^{x} + 2$ .

$\ln (| e^{x} + 2 |) + C$

Schritt 7

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 2}$ .

$F (x) =$ $\ln (| e^{x} + 2 |) + C$