Analysis Beispiele

$y = (x^{2} + 5) (3 x + 1)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ((x^{2} + 5) (3 x + 1))$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x^{2} + 5$ und $g (y) = 3 x + 1$ .

$(x^{2} + 5) \frac{d}{d y} [3 x + 1] + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$(x^{2} + 5) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Schritt 3.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$(x^{2} + 5) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$(x^{2} + 5) (3 x' + \frac{d}{d y} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$(x^{2} + 5) (3 x' + 0) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Schritt 3.4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.2.1

Addiere $3 x'$ und $0$ .

$(x^{2} + 5) (3 x') + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Schritt 3.4.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2} + 5$ .

$3 \cdot (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Schritt 3.4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 5$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [5])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5])$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5])$

Schritt 3.5.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5])$

Schritt 3.6

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x x' + \frac{d}{d y} [5])$

Schritt 3.7

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x x' + 0)$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.1

Addiere $2 x x'$ und $0$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x x')$

Schritt 3.8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $3 x + 1$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + 2 \cdot (3 x + 1) x x'$

Schritt 3.9

Vereinfache.

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Schritt 3.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x^{2} + 3 \cdot 5) x' + 2 (3 x + 1) x x'$

Schritt 3.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + 2 (3 x + 1) x x'$

Schritt 3.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + (2 (3 x) + 2 \cdot 1) x x'$

Schritt 3.9.4

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + (2 (3 x) x + 2 \cdot 1 x) x'$

Schritt 3.9.5

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + 2 (3 x) x x' + 2 \cdot 1 x x'$

Schritt 3.9.6

Vereine die Terme

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Schritt 3.9.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 2 (3 x) x x' + 2 \cdot 1 x x'$

Schritt 3.9.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x \cdot x x' + 2 \cdot 1 x x'$

Schritt 3.9.6.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 (x^{1} x) x' + 2 \cdot 1 x x'$

Schritt 3.9.6.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 (x^{1} x^{1}) x' + 2 \cdot 1 x x'$

Schritt 3.9.6.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x^{1 + 1} x' + 2 \cdot 1 x x'$

Schritt 3.9.6.6

Addiere $1$ und $1$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x^{2} x' + 2 \cdot 1 x x'$

Schritt 3.9.6.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x^{2} x' + 2 x x'$

Schritt 3.9.6.8

Addiere $3 x^{2} x'$ und $6 x^{2} x'$ .

$9 x^{2} x' + 15 x' + 2 x x'$

Schritt 3.9.7

Stelle die Terme um.

$9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = 9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x' = 1$ um.

$9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x' = 1$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x'$ aus $9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x'$ aus $9 x^{2} x'$ heraus.

$x' (9 x^{2}) + 2 x x' + 15 x' = 1$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $x'$ aus $2 x x'$ heraus.

$x' (9 x^{2}) + x' (2 x) + 15 x' = 1$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $x'$ aus $15 x'$ heraus.

$x' (9 x^{2}) + x' (2 x) + x' \cdot 15 = 1$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $x'$ aus $x' (9 x^{2}) + x' (2 x)$ heraus.

$x' (9 x^{2} + 2 x) + x' \cdot 15 = 1$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $x'$ aus $x' (9 x^{2} + 2 x) + x' \cdot 15$ heraus.

$x' (9 x^{2} + 2 x + 15) = 1$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $x' (9 x^{2} + 2 x + 15) = 1$ durch $9 x^{2} + 2 x + 15$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (9 x^{2} + 2 x + 15) = 1$ durch $9 x^{2} + 2 x + 15$ .

$\frac{x' (9 x^{2} + 2 x + 15)}{9 x^{2} + 2 x + 15} = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9 x^{2} + 2 x + 15$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (9 x^{2} + 2 x + 15)}{9 x^{2} + 2 x + 15} = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$