Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4} x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $\frac{4}{4}$ und $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Schritt 1.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Schritt 1.1.2.5.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{3}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{3} + 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $\frac{75}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{75}{2} x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{75}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{75}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{75}{2} (2 x)$

Schritt 1.1.4.3

Kombiniere $2$ und $\frac{75}{2}$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{2 \cdot 75}{2} x$

Schritt 1.1.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $75$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{150}{2} x$

Schritt 1.1.4.5

Kombiniere $\frac{150}{2}$ und $x$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{150 x}{2}$

Schritt 1.1.4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $150$ und $2$ .

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Schritt 1.1.4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $150 x$ heraus.

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{2 (75 x)}{2}$

Schritt 1.1.4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.4.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{2 (75 x)}{2 (1)}$

Schritt 1.1.4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{2 (75 x)}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{75 x}{1}$

Schritt 1.1.4.6.2.4

Dividiere $75 x$ durch $1$ .

$f' (x) = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere.

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Schritt 1.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 15 x^{2} + 75 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x]$

Schritt 1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 x^{2}$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [75 x]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$3 x^{2} + 30 x + \frac{d}{d x} [75 x]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [75 x]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $75$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $75 x$ nach $x$ gleich $75 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 30 x + 75 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} + 30 x + 75 \cdot 1$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $75$ mit $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 30 x + 75$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} + 30 x + 75$ .

$3 x^{2} + 30 x + 75$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} + 30 x + 75 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} + 30 x + 75 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 30 x + 75$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 (x^{2}) + 30 x + 75 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $30 x$ heraus.

$3 (x^{2}) + 3 (10 x) + 75 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $75$ heraus.

$3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 (10 x)$ heraus.

$3 (x^{2} + 10 x) + 3 \cdot 25 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} + 10 x) + 3 \cdot 25$ heraus.

$3 (x^{2} + 10 x + 25) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$3 (x^{2} + 10 x + 5^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 2.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$3 {(x + 5)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 {(x + 5)}^{2} = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 {(x + 5)}^{2} = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 {(x + 5)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 {(x + 5)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere ${(x + 5)}^{2}$ durch $1$ .

${(x + 5)}^{2} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Schritt 2.4

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 2.5

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $- 5$ in $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{1}{4} \cdot {(- 5)}^{4} + 5 {(- 5)}^{3} + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Potenziere $- 5$ mit $4$ .

$f (- 5) = \frac{1}{4} \cdot 625 + 5 {(- 5)}^{3} + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $625$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + 5 {(- 5)}^{3} + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.3

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + 5 \cdot - 125 + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 125$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} - 625 + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.5

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} - 625 + \frac{75}{2} \cdot 25$

Schritt 3.1.2.1.6

Multipliziere $\frac{75}{2} \cdot 25$ .

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Schritt 3.1.2.1.6.1

Kombiniere $\frac{75}{2}$ und $25$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} - 625 + \frac{75 \cdot 25}{2}$

Schritt 3.1.2.1.6.2

Mutltipliziere $75$ mit $25$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} - 625 + \frac{1875}{2}$

Schritt 3.1.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.1.2.2.1

Schreibe $- 625$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625}{1} + \frac{1875}{2}$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 625}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1875}{2}$

Schritt 3.1.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 625}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625 \cdot 4}{4} + \frac{1875}{2}$

Schritt 3.1.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{1875}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625 \cdot 4}{4} + \frac{1875}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.1.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1875}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625 \cdot 4}{4} + \frac{1875 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625 \cdot 4}{4} + \frac{1875 \cdot 2}{4}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 5) = \frac{625 - 625 \cdot 4 + 1875 \cdot 2}{4}$

Schritt 3.1.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.4.1

Mutltipliziere $- 625$ mit $4$ .

$f (- 5) = \frac{625 - 2500 + 1875 \cdot 2}{4}$

Schritt 3.1.2.4.2

Mutltipliziere $1875$ mit $2$ .

$f (- 5) = \frac{625 - 2500 + 3750}{4}$

Schritt 3.1.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.1.2.5.1

Subtrahiere $2500$ von $625$ .

$f (- 5) = \frac{- 1875 + 3750}{4}$

Schritt 3.1.2.5.2

Addiere $- 1875$ und $3750$ .

$f (- 5) = \frac{1875}{4}$

Schritt 3.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{1875}{4}$ .

$\frac{1875}{4}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 5$ in $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(- 5, \frac{1875}{4})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 5, \frac{1875}{4})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 5)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5.1$ .

$f'' (- 5.1) = 3 {(- 5.1)}^{2} + 30 (- 5.1) + 75$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 5.1$ mit $2$ .

$f'' (- 5.1) = 3 \cdot 26.01 + 30 (- 5.1) + 75$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $26.01$ .

$f'' (- 5.1) = 78.03 + 30 (- 5.1) + 75$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $30$ mit $- 5.1$ .

$f'' (- 5.1) = 78.03 - 153 + 75$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $153$ von $78.03$ .

$f'' (- 5.1) = - 74.97 + 75$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 74.97$ und $75$ .

$f'' (- 5.1) = 0.03$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.03$ .

$0.03$

Schritt 5.3

Bei $- 5.1$ ist die zweite Ableitung $0.03$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - 5)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 5)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 5, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4.9$ .

$f'' (- 4.9) = 3 {(- 4.9)}^{2} + 30 (- 4.9) + 75$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 4.9$ mit $2$ .

$f'' (- 4.9) = 3 \cdot 24.01 + 30 (- 4.9) + 75$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $24.01$ .

$f'' (- 4.9) = 72.03 + 30 (- 4.9) + 75$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $30$ mit $- 4.9$ .

$f'' (- 4.9) = 72.03 - 147 + 75$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $147$ von $72.03$ .

$f'' (- 4.9) = - 74.97 + 75$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 74.97$ und $75$ .

$f'' (- 4.9) = 0.03$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.03$ .

$0.03$

Schritt 6.3

Bei $- 4.9$ ist die zweite Ableitung $0.03$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 5, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 5, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus nach Minus oder von Minus nach Plus ändert. Es gibt keine Punkte auf dem Graph, die diese Bedingungen erfüllen.

Keine Wendepunkte