Analysis Beispiele

$\ln (2 t^{4} e^{- t})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = 2 t^{4} e^{- t}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 t^{4} e^{- t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t^{4} e^{- t}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t^{4} e^{- t}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 t^{4} e^{- t}$ .

$\frac{1}{2 t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [2 t^{4} e^{- t}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t^{4} e^{- t}$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$ .

$\frac{1}{2 t^{4} e^{- t}} (2 \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}])$

Schritt 2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 t^{4} e^{- t}}$ .

$\frac{2}{2 t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2 t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t^{4}$ und $g (t) = e^{- t}$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = - t$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- t$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- t$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Schritt 5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Schritt 5.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- t}$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Schritt 5.3.3

Schreibe $- 1 e^{- t}$ als $- e^{- t}$ um.

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- e^{- t}) + e^{- t} (4 t^{3}))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- e^{- t})) + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Schritt 6.2

Vereine die Terme

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $t^{4}$ und $\frac{1}{t^{4} e^{- t}}$ .

$\frac{t^{4}}{t^{4} e^{- t}} (- e^{- t}) + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $\frac{t^{4}}{t^{4} e^{- t}}$ und $e^{- t}$ .

$- \frac{t^{4} e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{4}$ .

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{t^{4} e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Schritt 6.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Schritt 6.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- t}$ .

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Schritt 6.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Schritt 6.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Schritt 6.2.6

Kombiniere $e^{- t}$ und $\frac{1}{t^{4} e^{- t}}$ .

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} (4 t^{3})$

Schritt 6.2.7

Kombiniere $4$ und $\frac{e^{- t}}{t^{4} e^{- t}}$ .

$- 1 + \frac{4 e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} t^{3}$

Schritt 6.2.8

Kombiniere $\frac{4 e^{- t}}{t^{4} e^{- t}}$ und $t^{3}$ .

$- 1 + \frac{4 e^{- t} t^{3}}{t^{4} e^{- t}}$

Schritt 6.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- t}$ .

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Schritt 6.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 + \frac{4 e^{- t} t^{3}}{t^{4} e^{- t}}$

Schritt 6.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 + \frac{4 t^{3}}{t^{4}}$

Schritt 6.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t^{3}$ und $t^{4}$ .

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Schritt 6.2.10.1

Faktorisiere $t^{3}$ aus $4 t^{3}$ heraus.

$- 1 + \frac{t^{3} \cdot 4}{t^{4}}$

Schritt 6.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.10.2.1

Faktorisiere $t^{3}$ aus $t^{4}$ heraus.

$- 1 + \frac{t^{3} \cdot 4}{t^{3} t}$

Schritt 6.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 + \frac{t^{3} \cdot 4}{t^{3} t}$

Schritt 6.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 + \frac{4}{t}$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{4}{t} - 1$