Analysis Beispiele

$\int \frac{\tan (\ln (x^{2}))}{4 x} d x$

Schritt 1

Schreibe $\frac{\tan (\ln (x^{2}))}{4 x}$ als $\frac{\tan (2 \ln (x))}{4 x}$ um.

$\int \frac{\tan (2 \ln (x))}{4 x} d x$

Schritt 2

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{\tan (2 \ln (x))}{x} d x$

Schritt 3

Sei $u = 2 \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{2}{x} d x$ , folglich $- d u = \frac{- 2}{x} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Es sei $u = 2 \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Differenziere $2 \ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$

Schritt 3.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \ln (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.1.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$2 \frac{1}{x}$

Schritt 3.1.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x}$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2} \tan (u) d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \tan (u) d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int \tan (u) d u$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{8} \int \tan (u) d u$

Schritt 6

Das Integral von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{1}{8} (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

$\frac{1}{8} \ln (| \sec (u) |) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $2 \ln (x)$ .

$\frac{1}{8} \ln (| \sec (2 \ln (x)) |) + C$