Analysis Beispiele

$\int (\frac{- x^{2} + x}{x^{4}}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \frac{- x^{2} + x}{x^{4}} d x$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\int \frac{x (- x) + x}{x^{4}} d x$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{x (- x) + x^{1}}{x^{4}} d x$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\int \frac{x (- x) + x \cdot 1}{x^{4}} d x$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (- x) + x \cdot 1$ heraus.

$\int \frac{x (- x + 1)}{x^{4}} d x$

Schritt 2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\int \frac{x (- x + 1)}{x \cdot x^{3}} d x$

Schritt 2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{x (- x + 1)}{x \cdot x^{3}} d x$

Schritt 2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{- x + 1}{x^{3}} d x$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (- x + 1) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (- x + 1) x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int (- x + 1) x^{- 3} d x$

Schritt 3

Multipliziere $(- x + 1) x^{- 3}$ .

$\int - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Multipliziere $x$ mit $x^{- 3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.1

Bewege $x^{- 3}$ .

$\int - (x^{- 3} x) + 1 x^{- 3} d x$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $x^{- 3}$ mit $x$ .

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Schritt 4.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int - (x^{- 3} x^{1}) + 1 x^{- 3} d x$

Schritt 4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int - x^{- 3 + 1} + 1 x^{- 3} d x$

Schritt 4.1.3

Addiere $- 3$ und $1$ .

$\int - x^{- 2} + 1 x^{- 3} d x$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $x^{- 3}$ mit $1$ .

$\int - x^{- 2} + x^{- 3} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- (- x^{- 1} + C) + \int x^{- 3} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- (- x^{- 1} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$- - \frac{1}{x} - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{x} - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x} - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$