Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{6} - x}{x^{3}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x^{6} - x}{x^{3}} d x$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{6} - x$ heraus.

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Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{6}$ heraus.

$\int \frac{x \cdot x^{5} - x}{x^{3}} d x$

Schritt 3.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\int \frac{x \cdot x^{5} + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

Schritt 3.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{5} + x \cdot - 1$ heraus.

$\int \frac{x (x^{5} - 1)}{x^{3}} d x$

Schritt 3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\int \frac{x (x^{5} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Schritt 3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{x (x^{5} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Schritt 3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{x^{5} - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (x^{5} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{5} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int (x^{5} - 1) x^{- 2} d x$

Schritt 4

Multipliziere $(x^{5} - 1) x^{- 2}$ .

$\int x^{5} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Multipliziere $x^{5}$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{5 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$\int x^{3} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 5.2

Schreibe $- 1 x^{- 2}$ als $- x^{- 2}$ um.

$\int x^{3} - x^{- 2} d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{3} d x + \int - x^{- 2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - x^{- 2} d x$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - \int x^{- 2} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (- x^{- 1} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$\frac{1}{4} x^{4} - - x^{- 1} + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + 1 x^{- 1} + C$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $x^{- 1}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + x^{- 1} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x^{6} - x}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + x^{- 1} + C$