Analysis Beispiele

$x - \sin (2 x)$

Schritt 1

Schreibe $x - \sin (2 x)$ als Funktion.

$f (x) = x - \sin (2 x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x - \sin (2 x) d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x d x + \int - \sin (2 x) d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \sin (2 x) d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \sin (2 x) d x$

Schritt 7

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 7.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 8

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u)$

Schritt 10

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u) + C$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cos (u) + C$

Schritt 11.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{\cos (u)}{2} + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2} + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x - \sin (2 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$