Analysis Beispiele

$(x - 1) \cdot e^{x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 1$ und $g (x) = e^{x}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x e^{x} - 1 e^{x} + e^{x}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Schreibe $- 1 e^{x}$ als $- e^{x}$ um.

$x e^{x} - e^{x} + e^{x}$

Schritt 4.2.2

Addiere $- e^{x}$ und $e^{x}$ .

$x e^{x} + 0$

Schritt 4.2.3

Addiere $x e^{x}$ und $0$ .

$x e^{x}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $x e^{x}$ um.

$e^{x} x$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren in $e^{x} x$ um.

$x e^{x}$