Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{6})$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sin (3 x + \frac{π}{6}) d x$

Schritt 3

Sei $u = 3 x + \frac{π}{6}$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = 3 x + \frac{π}{6}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $3 x + \frac{π}{6}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + \frac{π}{6}]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + \frac{π}{6}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

Schritt 3.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1.4.1

Da $\frac{π}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π}{6}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 3.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Schritt 4

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

Schritt 6

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

$\frac{1}{3} (- \cos (u)) + C$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\cos (u)$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $3 x + \frac{π}{6}$ .

$- \frac{\cos (3 x + \frac{π}{6})}{3} + C$

Schritt 9

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{3} \cos (3 x + \frac{π}{6}) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{6})$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos (3 x + \frac{π}{6}) + C$