Analysis Beispiele

$y = \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{2 x}$ und $g (x) = e^{x} + 1$ .

$\frac{(e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(e^{x} + 1) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(e^{x} + 1) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(e^{x} + 1) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $(e^{x} + 1) e^{2 x}$ .

$\frac{2 \cdot ((e^{x} + 1) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.5.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{x} + 0)}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{2 x} e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Multipliziere $e^{2 x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.1

Bewege $e^{x}$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{x} e^{2 x})}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{x + 2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.3

Addiere $x$ und $2 x$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 e^{x} + 2 \cdot 1) e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 e^{x} e^{2 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.3.1.1

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{2 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.3.1.1.1

Bewege $e^{2 x}$ .

$\frac{2 (e^{2 x} e^{x}) + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 e^{2 x + x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7.3.1.1.3

Addiere $2 x$ und $x$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7.3.2

Subtrahiere $e^{3 x}$ von $2 e^{3 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x} + e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{2 e^{2 x} + e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 e^{2 x} + e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$