Analysis Beispiele

$y - y^{2} + x + x^{2} = - 2 y^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y - y^{2} + x + x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 2 y^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - y^{2} + x + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y' + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$y' - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$y' - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y' - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$y' - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y' - (2 y y') + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y' - 2 y y' + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y' - 2 y y' + 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y' - 2 y y' + 1 + 2 x$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$- 2 y y' + 2 x + y' + 1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- 6 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 6 y^{2} y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 2 y y' + 2 x + y' + 1 = - 6 y^{2} y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $6 y^{2} y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y y' + 2 x + y' + 1 + 6 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y y' + y' + 1 + 6 y^{2} y' = - 2 x$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y y' + y' + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y y' + y' + 6 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y y'$ heraus.

$y' (- 2 y) + y' + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

Schritt 5.3.2

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$y' (- 2 y) + y' + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' (- 2 y) + y' \cdot 1 + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $y'$ aus $6 y^{2} y'$ heraus.

$y' (- 2 y) + y' \cdot 1 + y' (6 y^{2}) = - 2 x - 1$

Schritt 5.3.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 2 y) + y' \cdot 1$ heraus.

$y' (- 2 y + 1) + y' (6 y^{2}) = - 2 x - 1$

Schritt 5.3.6

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 2 y + 1) + y' (6 y^{2})$ heraus.

$y' (- 2 y + 1 + 6 y^{2}) = - 2 x - 1$

Schritt 5.4

Stelle die Terme um.

$y' (6 y^{2} - 2 y + 1) = - 2 x - 1$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (6 y^{2} - 2 y + 1) = - 2 x - 1$ durch $6 y^{2} - 2 y + 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (6 y^{2} - 2 y + 1) = - 2 x - 1$ durch $6 y^{2} - 2 y + 1$ .

$\frac{y' (6 y^{2} - 2 y + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{- 2 x}{6 y^{2} - 2 y + 1} + \frac{- 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6 y^{2} - 2 y + 1$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (6 y^{2} - 2 y + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{- 2 x}{6 y^{2} - 2 y + 1} + \frac{- 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{6 y^{2} - 2 y + 1} + \frac{- 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 2 x - 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Schritt 5.5.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) - 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Schritt 5.5.3.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (1)}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Schritt 5.5.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (1)$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Schritt 5.5.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.5.3.5.1

Schreibe $- (2 x + 1)$ als $- 1 (2 x + 1)$ um.

$y' = \frac{- 1 (2 x + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Schritt 5.5.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x + 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$