Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} (3 - | x - 3 |) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{1}^{4} 3 - | x - 3 | d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{4} 3 d x + \int_{1}^{4} - | x - 3 | d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$3 x]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - | x - 3 | d x$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 x]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} | x - 3 | d x$

Schritt 5

Teile das Integral auf in Abhängigkeit davon, ob $x - 3$ positiv oder negativ ist.

$3 x]_{1}^{4} - (\int_{1}^{3} - x + 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$3 x]_{1}^{4} - (\int_{1}^{3} - x d x + \int_{1}^{3} 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 x]_{1}^{4} - (- \int_{1}^{3} x d x + \int_{1}^{3} 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

Schritt 11

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \int_{3}^{4} x d x + \int_{3}^{4} - 3 d x)$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{4} + \int_{3}^{4} - 3 d x)$

Schritt 13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2}]_{3}^{4} + \int_{3}^{4} - 3 d x)$

Schritt 14

Wende die Konstantenregel an.

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2}]_{3}^{4} + - 3 x]_{3}^{4})$

Schritt 15

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 15.1

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{4}$ und $- 3 x]_{3}^{4}$ .

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2} - 3 x]_{3}^{4})$

Schritt 15.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 15.2.1

Berechne $3 x$ bei $4$ und $1$ .

$(3 \cdot 4) - 3 \cdot 1 - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2} - 3 x]_{3}^{4})$

Schritt 15.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $3$ und $1$ .

$(3 \cdot 4) - 3 \cdot 1 - (- ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2} - 3 x]_{3}^{4})$

Schritt 15.2.3

Berechne $3 x$ bei $3$ und $1$ .

$(3 \cdot 4) - 3 \cdot 1 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + \frac{x^{2}}{2} - 3 x]_{3}^{4})$

Schritt 15.2.4

Berechne $\frac{x^{2}}{2} - 3 x$ bei $4$ und $3$ .

$(3 \cdot 4) - 3 \cdot 1 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5

Vereinfache.

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Schritt 15.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 - 3 \cdot 1 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$12 - 3 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.3

Subtrahiere $3$ von $12$ .

$9 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$9 - (- (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$9 - (- (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9 - (- \frac{9 - 1}{2} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.7

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$9 - (- \frac{8}{2} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 15.2.5.8.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$9 - (- \frac{2 \cdot 4}{2} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.5.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$9 - (- \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 - (- \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$9 - (- \frac{4}{1} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.8.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$9 - (- 1 \cdot 4 + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$9 - (- 4 + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.10

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 - (- 4 + 9 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.11

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$9 - (- 4 + 9 - 3 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.12

Subtrahiere $3$ von $9$ .

$9 - (- 4 + 6 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.13

Addiere $- 4$ und $6$ .

$9 - (2 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.14

Potenziere $4$ mit $2$ .

$9 - (2 + \frac{16}{2} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 15.2.5.15.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$9 - (2 + \frac{2 \cdot 8}{2} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.5.15.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$9 - (2 + \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 - (2 + \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$9 - (2 + \frac{8}{1} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.15.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$9 - (2 + 8 - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.16

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$9 - (2 + 8 - 12 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.17

Subtrahiere $12$ von $8$ .

$9 - (2 - 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.18

Potenziere $3$ mit $2$ .

$9 - (2 - 4 - (\frac{9}{2} - 3 \cdot 3))$

Schritt 15.2.5.19

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$9 - (2 - 4 - (\frac{9}{2} - 9))$

Schritt 15.2.5.20

Um $- 9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$9 - (2 - 4 - (\frac{9}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}))$

Schritt 15.2.5.21

Kombiniere $- 9$ und $\frac{2}{2}$ .

$9 - (2 - 4 - (\frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}))$

Schritt 15.2.5.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9 - (2 - 4 - \frac{9 - 9 \cdot 2}{2})$

Schritt 15.2.5.23

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.5.23.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$9 - (2 - 4 - \frac{9 - 18}{2})$

Schritt 15.2.5.23.2

Subtrahiere $18$ von $9$ .

$9 - (2 - 4 - \frac{- 9}{2})$

Schritt 15.2.5.24

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$9 - (2 - 4 - - \frac{9}{2})$

Schritt 15.2.5.25

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$9 - (2 - 4 + 1 (\frac{9}{2}))$

Schritt 15.2.5.26

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $1$ .

$9 - (2 - 4 + \frac{9}{2})$

Schritt 15.2.5.27

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$9 - (2 - 4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2})$

Schritt 15.2.5.28

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2}{2}$ .

$9 - (2 + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2})$

Schritt 15.2.5.29

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9 - (2 + \frac{- 4 \cdot 2 + 9}{2})$

Schritt 15.2.5.30

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.5.30.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$9 - (2 + \frac{- 8 + 9}{2})$

Schritt 15.2.5.30.2

Addiere $- 8$ und $9$ .

$9 - (2 + \frac{1}{2})$

Schritt 15.2.5.31

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$9 - (2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 15.2.5.32

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$9 - (\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 15.2.5.33

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9 - \frac{2 \cdot 2 + 1}{2}$

Schritt 15.2.5.34

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.5.34.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$9 - \frac{4 + 1}{2}$

Schritt 15.2.5.34.2

Addiere $4$ und $1$ .

$9 - \frac{5}{2}$

Schritt 15.2.5.35

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 15.2.5.36

Kombiniere $9$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 15.2.5.37

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 \cdot 2 - 5}{2}$

Schritt 15.2.5.38

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.5.38.1

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{18 - 5}{2}$

Schritt 15.2.5.38.2

Subtrahiere $5$ von $18$ .

$\frac{13}{2}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{13}{2}$

Dezimalform:

$6.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$6 \frac{1}{2}$

Schritt 17