Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{1}{x + 3} + \frac{3}{x - 5}}{x + 1}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{1}{x + 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{1}{x + 3} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} + \frac{3}{x - 5}}{x + 1}$

Schritt 1.2

Um $\frac{3}{x - 5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{1}{x + 3} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} + \frac{3}{x - 5} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}}{x + 1}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 3) (x - 5)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 3}$ mit $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{x - 5}{(x + 3) (x - 5)} + \frac{3}{x - 5} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}}{x + 1}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{3}{x - 5}$ mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{x - 5}{(x + 3) (x - 5)} + \frac{3 (x + 3)}{(x - 5) (x + 3)}}{x + 1}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 5) (x + 3)$ um.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{x - 5}{(x + 3) (x - 5)} + \frac{3 (x + 3)}{(x + 3) (x - 5)}}{x + 1}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{x - 5 + 3 (x + 3)}{(x + 3) (x - 5)}}{x + 1}$

Schritt 2

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to - 1} \frac{x - 5 + 3 (x + 3)}{(x + 3) (x - 5)} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{x - 5 + 3 (x + 3)}{(x + 3) (x - 5)}$ mit $\frac{1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x - 5 + 3 (x + 3)}{(x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 1} x - 5 + 3 (x + 3)}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 5 + lim_{x \to - 1} 3 (x + 3)}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 5 + lim_{x \to - 1} 3 (x + 3)}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

Schritt 3.1.2.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 5 + 3 lim_{x \to - 1} x + 3}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

Schritt 3.1.2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 5 + 3 (lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3)}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

Schritt 3.1.2.5

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 5 + 3 (lim_{x \to - 1} x + 3)}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

Schritt 3.1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot 5 + 3 (lim_{x \to - 1} x + 3)}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

Schritt 3.1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot 5 + 3 (- 1 + 3)}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

Schritt 3.1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.7.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{- 1 - 5 + 3 (- 1 + 3)}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

Schritt 3.1.2.7.1.2

Addiere $- 1$ und $3$ .

$\frac{- 1 - 5 + 3 \cdot 2}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

Schritt 3.1.2.7.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{- 1 - 5 + 6}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

Schritt 3.1.2.7.2

Subtrahiere $5$ von $- 1$ .

$\frac{- 6 + 6}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

Schritt 3.1.2.7.3

Addiere $- 6$ und $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 3 \cdot lim_{x \to - 1} x - 5 \cdot lim_{x \to - 1} x + 1}$

Schritt 3.1.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3) \cdot lim_{x \to - 1} x - 5 \cdot lim_{x \to - 1} x + 1}$

Schritt 3.1.3.3

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 3) \cdot lim_{x \to - 1} x - 5 \cdot lim_{x \to - 1} x + 1}$

Schritt 3.1.3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 3) \cdot (lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 5) \cdot lim_{x \to - 1} x + 1}$

Schritt 3.1.3.5

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 3) \cdot (lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 5) \cdot lim_{x \to - 1} x + 1}$

Schritt 3.1.3.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 3) \cdot (lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 5) \cdot (lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1)}$

Schritt 3.1.3.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 3) \cdot (lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 5) \cdot (lim_{x \to - 1} x + 1)}$

Schritt 3.1.3.8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.3.8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{0}{(- 1 + 3) \cdot (lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 5) \cdot (lim_{x \to - 1} x + 1)}$

Schritt 3.1.3.8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{0}{(- 1 + 3) \cdot (- 1 - 1 \cdot 5) \cdot (lim_{x \to - 1} x + 1)}$

Schritt 3.1.3.8.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{0}{(- 1 + 3) \cdot (- 1 - 1 \cdot 5) \cdot (- 1 + 1)}$

Schritt 3.1.3.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.9.1

Addiere $- 1$ und $3$ .

$\frac{0}{2 \cdot (- 1 - 1 \cdot 5) \cdot (- 1 + 1)}$

Schritt 3.1.3.9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{0}{2 \cdot (- 1 - 5) \cdot (- 1 + 1)}$

Schritt 3.1.3.9.3

Subtrahiere $5$ von $- 1$ .

$\frac{0}{2 \cdot - 6 \cdot (- 1 + 1)}$

Schritt 3.1.3.9.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$\frac{0}{- 12 \cdot (- 1 + 1)}$

Schritt 3.1.3.9.5

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{0}{- 12 \cdot 0}$

Schritt 3.1.3.9.6

Mutltipliziere $- 12$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.9.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.10

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 1} \frac{x - 5 + 3 (x + 3)}{(x + 3) (x - 5) (x + 1)} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 5 + 3 (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 5 + 3 (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5 + 3 (x + 3)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [3 (x + 3)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [3 (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [3 (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

Schritt 3.3.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{1 + 0 + \frac{d}{d x} [3 (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

Schritt 3.3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [3 (x + 3)]$ .

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Schritt 3.3.5.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 (x + 3)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x + 3]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{1 + 0 + 3 \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

Schritt 3.3.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{1 + 0 + 3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

Schritt 3.3.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{1 + 0 + 3 (1 + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

Schritt 3.3.5.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{1 + 0 + 3 (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

Schritt 3.3.5.5

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{1 + 0 + 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

Schritt 3.3.5.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{1 + 0 + 3}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

Schritt 3.3.6

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{1 + 3}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

Schritt 3.3.6.2

Addiere $1$ und $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = (x + 3) (x - 5)$ und $g (x) = x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}$

Schritt 3.3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}$

Schritt 3.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}$

Schritt 3.3.10

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}$

Schritt 3.3.11

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}$

Schritt 3.3.12

Mutltipliziere $x + 3$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}$

Schritt 3.3.13

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 3$ und $g (x) = x - 5$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) ((x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}$

Schritt 3.3.14

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) ((x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}$

Schritt 3.3.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) ((x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}$

Schritt 3.3.16

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) ((x + 3) (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}$

Schritt 3.3.17

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) ((x + 3) \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}$

Schritt 3.3.18

Mutltipliziere $x + 3$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) (x + 3 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}$

Schritt 3.3.19

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) (x + 3 + (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}$

Schritt 3.3.20

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) (x + 3 + (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [3]))}$

Schritt 3.3.21

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) (x + 3 + (x - 5) (1 + 0))}$

Schritt 3.3.22

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) (x + 3 + (x - 5) \cdot 1)}$

Schritt 3.3.23

Mutltipliziere $x - 5$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) (x + 3 + x - 5)}$

Schritt 3.3.24

Addiere $x$ und $x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) (2 x + 3 - 5)}$

Schritt 3.3.25

Subtrahiere $5$ von $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) (2 x - 2)}$

Schritt 3.3.26

Vereinfache.

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Schritt 3.3.26.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) x + (x + 3) \cdot - 5 + (x + 1) (2 x - 2)}$

Schritt 3.3.26.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x \cdot x + 3 x + (x + 3) \cdot - 5 + (x + 1) (2 x - 2)}$

Schritt 3.3.26.3

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x \cdot x + 3 x + x \cdot - 5 + 3 \cdot - 5 + (x + 1) (2 x - 2)}$

Schritt 3.3.26.4

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x \cdot x + 3 x + x \cdot - 5 + 3 \cdot - 5 + (x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2}$

Schritt 3.3.26.5

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x \cdot x + 3 x + x \cdot - 5 + 3 \cdot - 5 + x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2}$

Schritt 3.3.26.6

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x \cdot x + 3 x + x \cdot - 5 + 3 \cdot - 5 + x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

Schritt 3.3.26.7

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.26.7.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{1} x + 3 x + x \cdot - 5 + 3 \cdot - 5 + x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

Schritt 3.3.26.7.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{1} x^{1} + 3 x + x \cdot - 5 + 3 \cdot - 5 + x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

Schritt 3.3.26.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{1 + 1} + 3 x + x \cdot - 5 + 3 \cdot - 5 + x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

Schritt 3.3.26.7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} + 3 x + x \cdot - 5 + 3 \cdot - 5 + x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

Schritt 3.3.26.7.5

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} + 3 x - 5 \cdot x + 3 \cdot - 5 + x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

Schritt 3.3.26.7.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} + 3 x - 5 x - 15 + x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

Schritt 3.3.26.7.7

Subtrahiere $5 x$ von $3 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 2 x - 15 + x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

Schritt 3.3.26.7.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 2 x - 15 + 2 (x^{1} x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

Schritt 3.3.26.7.9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 2 x - 15 + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

Schritt 3.3.26.7.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{1 + 1} + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

Schritt 3.3.26.7.11

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

Schritt 3.3.26.7.12

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 2 x + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

Schritt 3.3.26.7.13

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 2 x - 2 \cdot x + 1 \cdot - 2}$

Schritt 3.3.26.7.14

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 2 x - 2 x - 2}$

Schritt 3.3.26.7.15

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 0 - 2}$

Schritt 3.3.26.7.16

Addiere $2 x^{2}$ und $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} - 2}$

Schritt 3.3.26.7.17

Addiere $x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{3 x^{2} - 2 x - 15 - 2}$

Schritt 3.3.26.7.18

Subtrahiere $2$ von $- 15$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{3 x^{2} - 2 x - 17}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 lim_{x \to - 1} \frac{1}{3 x^{2} - 2 x - 17}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$4 \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - 2 x - 17}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$4 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - 2 x - 17}$

Schritt 4.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$4 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 17}$

Schritt 4.5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 \frac{1}{3 lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 17}$

Schritt 4.6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$4 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 17}$

Schritt 4.7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 17}$

Schritt 4.8

Berechne den Grenzwert von $17$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$4 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 17}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$4 \frac{1}{3 {(- 1)}^{2} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 17}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$4 \frac{1}{3 {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 17}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$4 \frac{1}{3 \cdot 1 - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 17}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$4 \frac{1}{3 - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 17}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$4 \frac{1}{3 + 2 - 1 \cdot 17}$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $17$ .

$4 \frac{1}{3 + 2 - 17}$

Schritt 6.1.5

Addiere $3$ und $2$ .

$4 \frac{1}{5 - 17}$

Schritt 6.1.6

Subtrahiere $17$ von $5$ .

$4 (\frac{1}{- 12})$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$4 \frac{1}{4 (- 3)}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{1}{4 \cdot - 3}$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 3}$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{3}$

Dezimalform:

$- 0.\overline{3}$