Analysis Beispiele

$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} (- 2 x + 4) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} - 2 x + 4 d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} - 2 x d x + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} 4 d x$

Schritt 3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- 2 \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} x d x + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} 4 d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}) + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} 4 d x$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}) + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} 4 d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}) + 4 x]_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $\frac{3}{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 2 ((\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 4 x]_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.1.2

Berechne $4 x$ bei $\frac{3}{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 4 (\frac{3}{2}) - 4 (\frac{1}{2})$

Schritt 7.1.3

Vereinfache.

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Schritt 7.1.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{2}$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + \frac{4 \cdot 3}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Schritt 7.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + \frac{12}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Schritt 7.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 7.1.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + \frac{2 \cdot 6}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Schritt 7.1.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + \frac{2 \cdot 6}{2 (1)} - 4 (\frac{1}{2})$

Schritt 7.1.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} - 4 (\frac{1}{2})$

Schritt 7.1.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + \frac{6}{1} - 4 (\frac{1}{2})$

Schritt 7.1.3.3.2.4

Dividiere $6$ durch $1$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 6 - 4 (\frac{1}{2})$

Schritt 7.1.3.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 6 + \frac{- 4}{2}$

Schritt 7.1.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 7.1.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 6 + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Schritt 7.1.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 6 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Schritt 7.1.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 6 + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 6 + \frac{- 2}{1}$

Schritt 7.1.3.5.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 6 - 2$

Schritt 7.1.3.6

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 4$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} + 4$

Schritt 7.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$- 2 \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} + 4$

Schritt 7.2.1.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- 2 \frac{\frac{9}{2^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} + 4$

Schritt 7.2.1.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 2 \frac{\frac{9}{4} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} + 4$

Schritt 7.2.1.2.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$- 2 \frac{\frac{9}{4} - \frac{1^{2}}{2^{2}}}{2} + 4$

Schritt 7.2.1.2.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 2 \frac{\frac{9}{4} - \frac{1}{2^{2}}}{2} + 4$

Schritt 7.2.1.2.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 2 \frac{\frac{9}{4} - \frac{1}{4}}{2} + 4$

Schritt 7.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 2 \frac{\frac{9 - 1}{4}}{2} + 4$

Schritt 7.2.1.4

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$- 2 \frac{\frac{8}{4}}{2} + 4$

Schritt 7.2.1.5

Dividiere $8$ durch $4$ .

$- 2 (\frac{2}{2}) + 4$

Schritt 7.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 (\frac{2}{2}) + 4$

Schritt 7.2.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \cdot 1 + 4$

Schritt 7.2.1.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 + 4$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 2$ und $4$ .

$2$

Schritt 8