Analysis Beispiele

$\int {(1 + x^{2})}^{2} \cdot 6 x d x$

Schritt 1

Bringe $6$ auf die linke Seite von ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\int 6 {(1 + x^{2})}^{2} x d x$

Schritt 2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int {(1 + x^{2})}^{2} x d x$

Schritt 3

Sei $u = 1 + x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = 1 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 3.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$6 \int u^{2} \frac{1}{2} d u$

Schritt 4

Kombiniere $u^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$6 \int \frac{u^{2}}{2} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$6 (\frac{1}{2} \int u^{2} d u)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$\frac{6}{2} \int u^{2} d u$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int u^{2} d u$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int u^{2} d u$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int u^{2} d u$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{1} \int u^{2} d u$

Schritt 6.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 \int u^{2} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe $3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ als $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ um.

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Schritt 8.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 u^{3} + C$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $u^{3}$ mit $1$ .

$u^{3} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

${(1 + x^{2})}^{3} + C$