Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Dann ist $d u_{2} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$ , folglich $- \frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{- x^{3}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $e^{- x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{3}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{3}$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x^{3}$ .

$e^{- x^{3}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- x^{3}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$e^{- x^{3}} (- (3 x^{2}))$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$ um.

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$

Schritt 1.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$ um.

$- 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = e^{- x^{3}}$ ein.

$u_{lower} = e^{- 0^{3}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = e^{- 0}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Schritt 1.3.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = e^{- x^{3}}$ ein.

$u_{upper} = e^{- 1^{3}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = e^{- 1 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{upper} = e^{- 1}$

Schritt 1.5.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{e}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{e}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{\frac{1}{e}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{\frac{1}{e}} - \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{\frac{1}{e}}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $- \frac{1}{3} u_{2}$ bei $\frac{1}{e}$ und $1$ .

$(- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{e}) + \frac{1}{3} \cdot 1$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{e}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot 1$

Schritt 4.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e$ .

$- \frac{1}{3 \cdot e} + \frac{1}{3} \cdot 1$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3 e} + \frac{1}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{3 e} + \frac{1}{3}$

Dezimalform:

$0.21070685 \dots$

Schritt 6