Analysis Beispiele

$\int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Schritt 1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Schritt 2

Sei $u = - 2 x$ . Dann ist $d u = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 3.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Schritt 8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{1}{4} e^{u} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x$ .

$\frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$