Analysis Beispiele

$- y + 2 x^{2} - x = - 5 y^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- y + 2 x^{2} - x) = \frac{d}{d x} (- 5 y^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- y + 2 x^{2} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- y' + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- y' + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- y' + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- y' + 4 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- y' + 4 x - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- y' + 4 x - 1 \cdot 1$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- y' + 4 x - 1$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$4 x - 1 - y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 y^{3}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- 5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$- 15 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 15 y^{2} y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 x - 1 - y' = - 15 y^{2} y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $15 y^{2} y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x - 1 - y' + 15 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 1 - y' + 15 y^{2} y' = - 4 x$

Schritt 5.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y' + 15 y^{2} y' = - 4 x + 1$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $- y' + 15 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' \cdot - 1 + 15 y^{2} y' = - 4 x + 1$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $15 y^{2} y'$ heraus.

$y' \cdot - 1 + y' (15 y^{2}) = - 4 x + 1$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cdot - 1 + y' (15 y^{2})$ heraus.

$y' (- 1 + 15 y^{2}) = - 4 x + 1$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 1 + 15 y^{2}) = - 4 x + 1$ durch $- 1 + 15 y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 1 + 15 y^{2}) = - 4 x + 1$ durch $- 1 + 15 y^{2}$ .

$\frac{y' (- 1 + 15 y^{2})}{- 1 + 15 y^{2}} = \frac{- 4 x}{- 1 + 15 y^{2}} + \frac{1}{- 1 + 15 y^{2}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 1 + 15 y^{2}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 1 + 15 y^{2})}{- 1 + 15 y^{2}} = \frac{- 4 x}{- 1 + 15 y^{2}} + \frac{1}{- 1 + 15 y^{2}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{- 1 + 15 y^{2}} + \frac{1}{- 1 + 15 y^{2}}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 4 x + 1}{- 1 + 15 y^{2}}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x$ heraus.

$y' = \frac{- (4 x) + 1}{- 1 + 15 y^{2}}$

Schritt 5.4.3.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y' = \frac{- (4 x) - 1 (- 1)}{- 1 + 15 y^{2}}$

Schritt 5.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$y' = \frac{- (4 x - 1)}{- 1 + 15 y^{2}}$

Schritt 5.4.3.5

Schreibe $- (4 x - 1)$ als $- 1 (4 x - 1)$ um.

$y' = \frac{- 1 (4 x - 1)}{- 1 + 15 y^{2}}$

Schritt 5.4.3.6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = \frac{- 1 (4 x - 1)}{- 1 (1) + 15 y^{2}}$

Schritt 5.4.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $15 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (4 x - 1)}{- 1 (1) - (- 15 y^{2})}$

Schritt 5.4.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- 15 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (4 x - 1)}{- 1 (1 - 15 y^{2})}$

Schritt 5.4.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- 1 (4 x - 1)}{- 1 (1 - 15 y^{2})}$

Schritt 5.4.3.10

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{4 x - 1}{1 - 15 y^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x - 1}{1 - 15 y^{2}}$