Analysis Beispiele

$- y^{3} = 4 + x^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- y^{3}) = \frac{d}{d x} (4 + x^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 3 y^{2} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 3.4

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 3 y^{2} y' = 2 x$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y^{2} y' = 2 x$ durch $- 3 y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y^{2} y' = 2 x$ durch $- 3 y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{2 x}{- 3 y^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{2 x}{- 3 y^{2}}$

Schritt 5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{2 x}{- 3 y^{2}}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{2 x}{- 3 y^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x}{- 3 y^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{3 y^{2}}$