Analysis Beispiele

$- 3 y^{3} - 5 - y^{2} - x^{3} = y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- 3 y^{3} - 5 - y^{2} - x^{3}) = \frac{d}{d x} (y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 y^{3} - 5 - y^{2} - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 y^{3}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$- 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 3 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$- 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 3 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$- 9 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.4.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.4.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 9 y^{2} y' + 0 - (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - 2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - 2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - 2 y y' - (3 x^{2})$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - 2 y y' - 3 x^{2}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Addiere $- 9 y^{2} y'$ und $0$ .

$- 9 y^{2} y' - 2 y y' - 3 x^{2}$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$- 3 x^{2} - 9 y^{2} y' - 2 y y'$

Schritt 3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 3 x^{2} - 9 y^{2} y' - 2 y y' = y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x^{2} - 9 y^{2} y' - 2 y y' - y' = 0$

Schritt 5.2

Addiere $3 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 y^{2} y' - 2 y y' - y' = 3 x^{2}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 9 y^{2} y' - 2 y y' - y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 9 y^{2} y'$ heraus.

$y' (- 9 y^{2}) - 2 y y' - y' = 3 x^{2}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y y'$ heraus.

$y' (- 9 y^{2}) + y' (- 2 y) - y' = 3 x^{2}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (- 9 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' \cdot - 1 = 3 x^{2}$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 9 y^{2}) + y' (- 2 y)$ heraus.

$y' (- 9 y^{2} - 2 y) + y' \cdot - 1 = 3 x^{2}$

Schritt 5.3.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 9 y^{2} - 2 y) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (- 9 y^{2} - 2 y - 1) = 3 x^{2}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 9 y^{2} - 2 y - 1) = 3 x^{2}$ durch $- 9 y^{2} - 2 y - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 9 y^{2} - 2 y - 1) = 3 x^{2}$ durch $- 9 y^{2} - 2 y - 1$ .

$\frac{y' (- 9 y^{2} - 2 y - 1)}{- 9 y^{2} - 2 y - 1} = \frac{3 x^{2}}{- 9 y^{2} - 2 y - 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 9 y^{2} - 2 y - 1$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 9 y^{2} - 2 y - 1)}{- 9 y^{2} - 2 y - 1} = \frac{3 x^{2}}{- 9 y^{2} - 2 y - 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{- 9 y^{2} - 2 y - 1}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 9 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{3 x^{2}}{- (9 y^{2}) - 2 y - 1}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y$ heraus.

$y' = \frac{3 x^{2}}{- (9 y^{2}) - (2 y) - 1}$

Schritt 5.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (9 y^{2}) - (2 y)$ heraus.

$y' = \frac{3 x^{2}}{- (9 y^{2} + 2 y) - 1}$

Schritt 5.4.3.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = \frac{3 x^{2}}{- (9 y^{2} + 2 y) - 1 (1)}$

Schritt 5.4.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (9 y^{2} + 2 y) - 1 (1)$ heraus.

$y' = \frac{3 x^{2}}{- (9 y^{2} + 2 y + 1)}$

Schritt 5.4.3.6

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.4.3.6.1

Schreibe $- (9 y^{2} + 2 y + 1)$ als $- 1 (9 y^{2} + 2 y + 1)$ um.

$y' = \frac{3 x^{2}}{- 1 (9 y^{2} + 2 y + 1)}$

Schritt 5.4.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{9 y^{2} + 2 y + 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{9 y^{2} + 2 y + 1}$