Analysis Beispiele

$y = x^{4} + 2 x^{2} + 8 x + 3$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 2 x^{2} + 8 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 4 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} + 4 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$4 x^{3} + 4 x + 8 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} + 4 x + 8 + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $4 x^{3} + 4 x + 8$ und $0$ .

$4 x^{3} + 4 x + 8$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} + 4 x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 4 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $12 x^{2} + 4$ und $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 4$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$4 x^{3} + 4 x + 8 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 2 x^{2} + 8 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 4 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} + 4 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$4 x^{3} + 4 x + 8 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} + 4 x + 8 + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $4 x^{3} + 4 x + 8$ und $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 x + 8$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} + 4 x + 8$ .

$4 x^{3} + 4 x + 8$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} + 4 x + 8 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} + 4 x + 8 = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} + 4 x + 8$ heraus.

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 (x^{3}) + 4 x + 8 = 0$

Schritt 5.2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$4 (x^{3}) + 4 (x) + 8 = 0$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$4 (x^{3}) + 4 x + 4 \cdot 2 = 0$

Schritt 5.2.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3}) + 4 x$ heraus.

$4 (x^{3} + x) + 4 \cdot 2 = 0$

Schritt 5.2.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3} + x) + 4 \cdot 2$ heraus.

$4 (x^{3} + x + 2) = 0$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $x^{3} + x + 2$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 5.2.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 5.2.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2$

Schritt 5.2.2.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 5.2.2.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{3} - 1 + 2$

Schritt 5.2.2.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 - 1 + 2$

Schritt 5.2.2.1.3.3

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$- 2 + 2$

Schritt 5.2.2.1.3.4

Addiere $- 2$ und $2$ .

$0$

Schritt 5.2.2.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + x + 2}{x + 1}$

Schritt 5.2.2.1.5

Dividiere $x^{3} + x + 2$ durch $x + 1$ .

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Schritt 5.2.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

Schritt 5.2.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$

Schritt 5.2.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 5.2.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 5.2.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Schritt 5.2.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 5.2.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 5.2.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 5.2.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} - x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 5.2.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

Schritt 5.2.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Schritt 5.2.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Schritt 5.2.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Schritt 5.2.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x + 2$

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Schritt 5.2.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Schritt 5.2.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - x + 2$

Schritt 5.2.2.1.6

Schreibe $x^{3} + x + 2$ als eine Menge von Faktoren.

$4 ((x + 1) (x^{2} - x + 2)) = 0$

Schritt 5.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x + 1) (x^{2} - x + 2) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 2 = 0$

Schritt 5.4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 5.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 5.5

Setze $x^{2} - x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $x^{2} - x + 2$ gleich $0$ .

$x^{2} - x + 2 = 0$

Schritt 5.5.2

Löse $x^{2} - x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.2.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 5.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.1.3

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.1.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (7)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 5.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.2.4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 5.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.1.3

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.1.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (7)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 5.5.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 5.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.2.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 5.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.1.3

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.1.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (7)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 5.5.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 5.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (x + 1) (x^{2} - x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - 1$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 {(- 1)}^{2} + 4$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$12 \cdot 1 + 4$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12 + 4$

Schritt 9.2

Addiere $12$ und $4$ .

$16$

Schritt 10

$x = - 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 1$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 2 {(- 1)}^{2} + 8 (- 1) + 3$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- 1) = 1 + 2 {(- 1)}^{2} + 8 (- 1) + 3$

Schritt 11.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = 1 + 2 \cdot 1 + 8 (- 1) + 3$

Schritt 11.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (- 1) = 1 + 2 + 8 (- 1) + 3$

Schritt 11.2.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + 2 - 8 + 3$

Schritt 11.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 11.2.2.1

Addiere $1$ und $2$ .

$f (- 1) = 3 - 8 + 3$

Schritt 11.2.2.2

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$f (- 1) = - 5 + 3$

Schritt 11.2.2.3

Addiere $- 5$ und $3$ .

$f (- 1) = - 2$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$y = - 2$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} + 8 x + 3$ .

$(- 1, - 2)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13