Analysis Beispiele

$\frac{d}{d x} (\arctan (x) + 2 \sqrt{x})$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\arctan (x) + 2 \sqrt{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\arctan (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.10

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.12

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.13

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{1}{1 + x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.2

Um $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 + x^{2}) x^{\frac{1}{2}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + x^{2}}$ mit $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(1 + x^{2}) x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(1 + x^{2}) x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1 + x^{2}}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

Schritt 4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(1 + x^{2}) x^{\frac{1}{2}}$ um.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})} + \frac{1 + x^{2}}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{2}}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} + x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$