Analysis Beispiele

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}$ und $\ln (| x |)]_{1}^{e}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

Schritt 6.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Berechne $\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)$ bei $e$ und $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{2} + \ln (| e |)) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

Schritt 6.2.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

Schritt 6.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |))$

Schritt 6.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$

Schritt 6.2.2.4

Um $- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} + \ln (| e |)$

Schritt 6.2.2.5

Kombiniere $- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \frac{- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

Schritt 6.2.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

Schritt 6.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))}{2} + \ln (| e |)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1.1.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (1))}{2} + \ln (| e |)$

Schritt 7.1.1.1.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + 0)}{2} + \ln (| e |)$

Schritt 7.1.1.2

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2})}{2} + \ln (| e |)$

Schritt 7.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{e^{2} + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

Schritt 7.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

Schritt 7.1.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{2} - 1}{2} + \ln (| e |)$

Schritt 7.1.1.4

Schreibe $e^{2} - 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 7.1.1.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{e^{2} - 1^{2}}{2} + \ln (| e |)$

Schritt 7.1.1.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e$ und $b = 1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (| e |)$

Schritt 7.1.2

$e$ ist ungefähr $2.71828182$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (e)$

Schritt 7.1.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + 1$

Schritt 7.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(e + 1) (e - 1) + 2}{2}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.1

Multipliziere $(e + 1) (e - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e (e - 1) + 1 (e - 1) + 2}{2}$

Schritt 7.4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 (e - 1) + 2}{2}$

Schritt 7.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Schritt 7.4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.4.2.1.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e$ .

$\frac{e e - 1 \cdot e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Schritt 7.4.2.1.2

Schreibe $- 1 e$ als $- e$ um.

$\frac{e e - e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Schritt 7.4.2.1.3

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$\frac{e e - e + e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Schritt 7.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{e e - e + e - 1 + 2}{2}$

Schritt 7.4.2.2

Addiere $- e$ und $e$ .

$\frac{e e + 0 - 1 + 2}{2}$

Schritt 7.4.2.3

Addiere $e e$ und $0$ .

$\frac{e e - 1 + 2}{2}$

Schritt 7.4.3

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{e e + 1}{2}$

Schritt 7.4.4

Multipliziere $e e$ .

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Schritt 7.4.4.1

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{e^{1} e + 1}{2}$

Schritt 7.4.4.2

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{e^{1} e^{1} + 1}{2}$

Schritt 7.4.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{1 + 1} + 1}{2}$

Schritt 7.4.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

Dezimalform:

$4.19452804 \dots$

Schritt 9