Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x^{2}})}^{x}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}})}^{x}$

Schritt 1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}^{x}$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}^{x}$ als $e^{\ln ({(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}^{x})}$ um.

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}^{x})}$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}$

Schritt 4

Schreibe $x \ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})$ als $\frac{\ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}{\frac{1}{x}}$ um.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}{\frac{1}{x}}}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 5.1.2.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.3.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.2.5.2.1

Dividiere $1 + 0$ durch $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.5.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.5.2.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Schritt 5.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{0}{0}}$

Schritt 5.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ .

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Schritt 5.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ zu dividieren.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.5

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} + 1$ und $g (x) = x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.10

Addiere $2 x$ und $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} \cdot 2 x - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.11

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.11.1

Bewege $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.11.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.11.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.11.3

Addiere $1$ und $2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{3} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.12

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{2 \cdot x^{3} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{2 x^{3} - (x^{2} + 1) \cdot 2 x}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.14

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.15

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ mit $\frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{x^{4}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x)}{(x^{2} + 1) x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.16

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.16.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $(x^{2} + 1) x^{4}$ heraus.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x)}{x^{2} (x^{2} + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.16.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x)}{x^{2} (x^{2} + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.16.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{(x^{2} + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.17

Vereinfache.

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Schritt 5.3.17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{(x^{2} + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.17.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x}{(x^{2} + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.17.3

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.17.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.17.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.17.4.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.17.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x \cdot x^{2} - 2 \cdot 1 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.17.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.17.4.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x^{1} x^{2} - 2 \cdot 1 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.17.4.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot 1 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.17.4.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot 1 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.17.4.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.17.4.2

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 2 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.17.4.3

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.17.5

Vereine die Terme

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Schritt 5.3.17.5.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.17.5.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x^{2 + 2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.17.5.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x^{4} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.17.5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x^{4} + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.17.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 x}{x^{4} + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.17.6

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} + x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.17.6.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.17.6.2

Multipliziere mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.17.6.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1$ heraus.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 x}{x^{2} (x^{2} + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.17.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.17.7.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{x \cdot 2}{x^{2} (x^{2} + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.17.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.17.7.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (x^{2} + 1)$ heraus.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{x \cdot 2}{x \cdot x (x^{2} + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.17.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{x \cdot 2}{x \cdot x (x^{2} + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.17.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x^{2} + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.18

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x^{2} + 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Schritt 5.3.19

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x^{2} + 1)}}{- x^{- 2}}}$

Schritt 5.3.20

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x^{2} + 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{2}{x (x^{2} + 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

Schritt 5.5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{2}{x (x^{2} + 1)} x^{2}}$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $\frac{2}{x (x^{2} + 1)}$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x (x^{2} + 1)} x^{2}}$

Schritt 5.5.3

Kombiniere $\frac{2}{x (x^{2} + 1)}$ und $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2}}{x (x^{2} + 1)}}$

Schritt 5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 2 x}{x (x^{2} + 1)}}$

Schritt 5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 2 x}{x (x^{2} + 1)}}$

Schritt 5.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x^{2} + 1}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^{2} + 1}}$

Schritt 7

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 8.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 8.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 8.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 8.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 8.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 9

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$e^{2 \frac{0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 10.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$e^{2 \frac{0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{2 \frac{0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 11

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$e^{2 \frac{0}{1 + 0}}$

Schritt 12

Vereinfache Terme.

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Schritt 12.1

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1.1

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{2 (\frac{0}{1})}$

Schritt 12.1.2

Dividiere $0$ durch $1$ .

$e^{2 \cdot 0}$

Schritt 12.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$e^{0}$

Schritt 12.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1$