Analysis Beispiele

$\int [3 x^{3} (x^{5} + \frac{4}{x^{4}})] d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int 3 x^{3} (x^{5} + \frac{4}{x^{4}}) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 3 x^{3} x^{5} + 3 x^{3} \frac{4}{x^{4}} d x$

Schritt 2.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1

Bewege $x^{5}$ .

$\int 3 (x^{5} x^{3}) + 3 x^{3} \frac{4}{x^{4}} d x$

Schritt 2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 3 x^{5 + 3} + 3 x^{3} \frac{4}{x^{4}} d x$

Schritt 2.2.3

Addiere $5$ und $3$ .

$\int 3 x^{8} + 3 x^{3} \frac{4}{x^{4}} d x$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$\int 3 x^{8} + x^{3} \cdot 3 \frac{4}{x^{4}} d x$

Schritt 2.3.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\int 3 x^{8} + x^{3} \cdot 3 \frac{4}{x^{3} x} d x$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int 3 x^{8} + x^{3} \cdot 3 \frac{4}{x^{3} x} d x$

Schritt 2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\int 3 x^{8} + 3 \frac{4}{x} d x$

Schritt 2.4

Kombiniere $3$ und $\frac{4}{x}$ .

$\int 3 x^{8} + \frac{3 \cdot 4}{x} d x$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\int 3 x^{8} + \frac{12}{x} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 x^{8} d x + \int \frac{12}{x} d x$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int x^{8} d x + \int \frac{12}{x} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{8}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$3 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + \int \frac{12}{x} d x$

Schritt 6

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 12 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$3 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 12 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$3 (\frac{1}{9}) x^{9} + 12 \ln (| x |) + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{9}$ .

$\frac{3}{9} x^{9} + 12 \ln (| x |) + C$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (1)}{9} x^{9} + 12 \ln (| x |) + C$

Schritt 8.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} x^{9} + 12 \ln (| x |) + C$

Schritt 8.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} x^{9} + 12 \ln (| x |) + C$

Schritt 8.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} x^{9} + 12 \ln (| x |) + C$