Analysis Beispiele

$- x y^{2} + x + 4 - y^{3} = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- x y^{2} + x + 4 - y^{3}) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x y^{2} + x + 4 - y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{2}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$- (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$- (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 1 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 1 + 0 + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 1 + 0 - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 1 + 0 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 1 + 0 - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 1 + 0 - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- (2 x y y' + y^{2}) + 1 + 0 - (3 y^{2} y')$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 1 + 0 - 3 y^{2} y'$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (2 x y y') - y^{2} + 1 + 0 - 3 y^{2} y'$

Schritt 2.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (x y y') - y^{2} + 1 + 0 - 3 y^{2} y'$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $- 2 x y y' - y^{2} + 1$ und $0$ .

$- 2 x y y' - y^{2} + 1 - 3 y^{2} y'$

Schritt 2.5.3

Stelle die Terme um.

$- y^{2} - 2 x y y' - 3 y^{2} y' + 1$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- y^{2} - 2 x y y' - 3 y^{2} y' + 1 = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Addiere $y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x y y' - 3 y^{2} y' + 1 = y^{2}$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x y y' - 3 y^{2} y' = y^{2} - 1$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y y'$ aus $- 2 x y y' - 3 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y y'$ aus $- 2 x y y'$ heraus.

$y y' (- 2 x) - 3 y^{2} y' = y^{2} - 1$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y y'$ aus $- 3 y^{2} y'$ heraus.

$y y' (- 2 x) + y y' (- 3 y) = y^{2} - 1$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y y'$ aus $y y' (- 2 x) + y y' (- 3 y)$ heraus.

$y y' (- 2 x - 3 y) = y^{2} - 1$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y y' (- 2 x - 3 y) = y^{2} - 1$ durch $y (- 2 x - 3 y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y y' (- 2 x - 3 y) = y^{2} - 1$ durch $y (- 2 x - 3 y)$ .

$\frac{y y' (- 2 x - 3 y)}{y (- 2 x - 3 y)} = \frac{y^{2}}{y (- 2 x - 3 y)} + \frac{- 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (- 2 x - 3 y)}{y (- 2 x - 3 y)} = \frac{y^{2}}{y (- 2 x - 3 y)} + \frac{- 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (- 2 x - 3 y)}{- 2 x - 3 y} = \frac{y^{2}}{y (- 2 x - 3 y)} + \frac{- 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 x - 3 y$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 2 x - 3 y)}{- 2 x - 3 y} = \frac{y^{2}}{y (- 2 x - 3 y)} + \frac{- 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{y (- 2 x - 3 y)} + \frac{- 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y \cdot y}{y (- 2 x - 3 y)} + \frac{- 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y \cdot y}{y (- 2 x - 3 y)} + \frac{- 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y}{- 2 x - 3 y} + \frac{- 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{y}{- 2 x - 3 y} - \frac{1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.2

Um $\frac{y}{- 2 x - 3 y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y}{- 2 x - 3 y} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(- 2 x - 3 y) y$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{y}{- 2 x - 3 y}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{(- 2 x - 3 y) y} - \frac{1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(- 2 x - 3 y) y$ um.

$y' = \frac{y \cdot y}{y (- 2 x - 3 y)} - \frac{1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y \cdot y - 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.5.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y' = \frac{y^{1} y - 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.5.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y' = \frac{y^{1} y^{1} - 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{y^{1 + 1} - 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$y' = \frac{y^{2} - 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.5.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y' = \frac{y^{2} - 1^{2}}{y (- 2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.5.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 1$ .

$y' = \frac{(y + 1) (y - 1)}{y (- 2 x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.3.3.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{(y + 1) (y - 1)}{y (- (2 x) - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.6.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 y$ heraus.

$y' = \frac{(y + 1) (y - 1)}{y (- (2 x) - (3 y))}$

Schritt 5.3.3.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - (3 y)$ heraus.

$y' = \frac{(y + 1) (y - 1)}{y (- (2 x + 3 y))}$

Schritt 5.3.3.6.4

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.3.3.6.4.1

Schreibe $- (2 x + 3 y)$ als $- 1 (2 x + 3 y)$ um.

$y' = \frac{(y + 1) (y - 1)}{y (- 1 (2 x + 3 y))}$

Schritt 5.3.3.6.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{(y + 1) (y - 1)}{y (2 x + 3 y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(y + 1) (y - 1)}{y (2 x + 3 y)}$