Analysis Beispiele

$\frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}} d x$

Schritt 4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}} d x$

Schritt 6

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 6.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u$

Schritt 7

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ nach $u$ ist $\arcsin (u)$

$- (\arcsin (u) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$- \arcsin (u) + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$- \arcsin (\ln (x)) + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}}$ .

$F (x) =$ $- \arcsin (\ln (x)) + C$