Analysis Beispiele

$\int \frac{3 x (7^{x^{2}})}{7^{x^{2}} - 5} d x$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{x \cdot (7^{x^{2}})}{7^{x^{2}} - 5} d x$

Schritt 2

Sei $u_{1} = x^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{(7^{u_{1}} - 5) \cdot 2} d u_{1}$

Schritt 3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $7^{u_{1}} - 5$ .

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{2 (7^{u_{1}} - 5)} d u_{1}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} d u_{1})$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} d u_{1}$

Schritt 6

Sei $u_{2} = 7^{u_{1}} - 5$ . Dann ist $d u_{2} = 7^{u_{1}} \ln (7) d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{\ln (7)} d u_{2} = 7^{u_{1}} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = 7^{u_{1}} - 5$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $7^{u_{1}} - 5$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}} - 5]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7^{u_{1}} - 5$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $7$ .

$7^{u_{1}} \ln (7) + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$

Schritt 6.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 6.1.4.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$7^{u_{1}} \ln (7) + 0$

Schritt 6.1.4.2

Addiere $7^{u_{1}} \ln (7)$ und $0$ .

$7^{u_{1}} \ln (7)$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{\ln (7)} d u_{2}$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{\ln (7)}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2} \ln (7)} d u_{2}$

Schritt 8

Da $\frac{1}{\ln (7)}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{\ln (7)}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{\ln (7)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\ln (7)}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{\ln (7) \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 9.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (7)$ .

$\frac{3}{2 \ln (7)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 10

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{3}{2 \ln (7)} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 12

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 12.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $7^{u_{1}} - 5$ .

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| 7^{u_{1}} - 5 |) + C$

Schritt 12.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| 7^{x^{2}} - 5 |) + C$