Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{4 \ln (3 x - 2)}{2 - 2 x^{2}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} 4 \ln (3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 lim_{x \to 1} \ln (3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Schritt 1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 1} 3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Schritt 1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Schritt 1.2.1.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 \ln (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Schritt 1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{4 \ln (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{4 \ln (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{4 \ln (3 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Schritt 1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{4 \ln (3 - 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{4 \ln (1)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Schritt 1.2.3.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Schritt 1.2.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 2 - lim_{x \to 1} 2 x^{2}}$

Schritt 1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{2 - lim_{x \to 1} 2 x^{2}}$

Schritt 1.3.1.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{2 - 2 lim_{x \to 1} x^{2}}$

Schritt 1.3.1.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{2 - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{2 - 2 \cdot 1^{2}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{2 - 2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \ln (3 x - 2)}{2 - 2 x^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Schritt 3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \ln (3 x - 2)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x - 2$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\frac{1}{3 x - 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{1}{3 x - 2}$ und $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Schritt 3.6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Schritt 3.9

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Schritt 3.10

Addiere $3$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Schritt 3.11

Kombiniere $\frac{4}{3 x - 2}$ und $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \cdot 3}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Schritt 3.13

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]}$

Schritt 3.14

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]}$

Schritt 3.15

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Schritt 3.15.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.15.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{0 - 2 (2 x)}$

Schritt 3.15.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{0 - 4 x}$

Schritt 3.16

Subtrahiere $4 x$ von $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{- 4 x}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 1} \frac{12}{3 x - 2} \cdot \frac{1}{- 4 x}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{12}{3 x - 2}$ mit $\frac{1}{- 4 x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{12}{(3 x - 2) (- 4 x)}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $- 4$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{4 (3)}{(3 x - 2) (- 4 x)}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $(3 x - 2) (- 4 x)$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{4 (3)}{4 ((3 x - 2) (- x))}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cdot 3}{4 ((3 x - 2) (- x))}$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{3}{(3 x - 2) (- x)}$

Schritt 6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 lim_{x \to 1} \frac{1}{(3 x - 2) (- x)}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$3 \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} (3 x - 2) \cdot - 1 x}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$3 \frac{1}{lim_{x \to 1} (3 x - 2) \cdot - 1 x}$

Schritt 9

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 \frac{1}{- lim_{x \to 1} (3 x - 2) x}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$3 \frac{1}{- lim_{x \to 1} 3 x - 2 \cdot lim_{x \to 1} x}$

Schritt 11

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$3 \frac{1}{- (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Schritt 12

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 \frac{1}{- (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$3 \frac{1}{- (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Schritt 14

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 14.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$3 \frac{1}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Schritt 14.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$3 \frac{1}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Schritt 15

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 15.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{1}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Schritt 15.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \frac{1}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 15.2.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$3 \frac{- 1 (- 1)}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Schritt 15.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (- \frac{1}{3 - 1 \cdot 2})$

Schritt 15.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 (- \frac{1}{3 - 2})$

Schritt 15.3.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$3 (- \frac{1}{1})$

Schritt 15.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 15.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (- \frac{1}{1})$

Schritt 15.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 15.5

Multipliziere $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 15.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 \cdot - 1$

Schritt 15.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3$